Maximales Volumen von Pyramide < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Aus vier quadratischen Stangen der Länge s wird ein pyramidenförmiges Zelt mit einer quadratischen Grundfläche errichtet. Berechne die Grundkante a und die Höhe h so, dass das Volumen ein Maximum wird. Wie groß ist dann die Mantelfläche M?
|
Zielfunktion: Maximales Volumen
HB: V= [mm] \bruch{G*h/3}
[/mm]
NB:
G=a²
h= [mm] \wurzel{s²-(a/2)²}
[/mm]
Ich stecke schon bei der Nebenbedingung, wie kann ich die Hauptbedingung ausreichend vereinfachen und überhaupt O:?
Bitte um Hilfe!
Lg,
Luftschloss
|
|
| |
|
Du hast es doch eigentlich schon, wenn du den Pythagoras-Zusammenhang ein bisschen weniger umformst:
1. [mm]V(h,a) = \bruch{1}{3}*G*h=\bruch{1}{3}*a^2*h[/mm]
2. [mm]\bruch{1}{2}a^2 + h^2=s^2[/mm]
[mm]\gdw a^2 = 2s^2 - 2h^2[/mm]
Jetzt in die Volumenformel einsetzen, und du hast nur noch [mm]V(h)=\bruch{1}{3}*(2s^2 - 2h^2)*h[/mm] und das übliche weitere Vorgehen: zweimal ableiten, erste Ableitung gleich 0 setzen und lösen, mit der zweiten Ableitung das Maximum bestätigen, dann hast du das notwendige h. Mit der Nebenbedingung dann a berechnen und schließlich die Mantelfläche.
Gruß,
weightgainer
|
|
|
| |
|
f(h)= (2s²-2h²)*h
(Die 1/3 lass ich weg, weil multiplikative Konstante, nicht relevant beim Ableiten)
f(h)=2s²h-2h³
Für die Zweien gilt dasselbe wie oben.
f'(h)=s²-3h²
f''(h)=2s-6h<0 --> MAX
1. Mit welcher Sicherheit kann ich sagen, dass f'' ein MAX is und 2. was stimmt da schon wieder nicht?
wenn ich f'(h)=0 setze um den Extremwert zuerhalten und mir h auszudrücken kommt Schwachsinn raus neg Wurzel und so...
Warum bin ich bloß so verwirrt :S
|
|
|
| |
|
Hallo,
stell das doch als Frage, nicht als Mitteilung, dann sehen auch alle, dass da noch was offen ist...
Ich lasse mal nichts weg, damit keine Flüchtigkeitsfehler passieren:
Erst mal die Funktion und die Ableitungen:
[mm]V(h) = \bruch{2}{3} *(s^2*h - h^3)[/mm]
[mm]\Rightarrow V'(h) = \bruch{2}{3}*(s^2-3h^2)[/mm]
[mm]\Rightarrow V''(h) = \bruch{2}{3}*(-6h)[/mm]
Jetzt die Extremstellen-Kandidaten ermitteln:
[mm]V'(h)=0 \gdw h^2 = \bruch{1}{3}s^2 \gdw h = \pm \bruch{1}{\wurzel{3}}*s = \pm \bruch{1}{3}*\wurzel{3}*s[/mm]
Für die Frage spielen negative Werte für h keine Rolle, d.h. es gibt für das Zelt genau eine optimale Möglichkeit.
Art des Extremums überprüfen:
Leicht, weil für alle h>0 die zweite Ableitung negativ ist (und für h<0 immer positiv), d.h. für alle Kandidaten, die im Aufgabenkontext Sinn machen könnten, kann es nur ein Maximum sein (weil da ja ein h<0 sinnlos wäre).
Und das Abrunden der Aufgabe:
Berechnung von a:
[mm]a^2=2s^2-2h^2= 2*s^2-2*\bruch{1}{3}s^2=\bruch{4}{3}s^2 \Rightarrow a=\bruch{2}{\wurzel{3}}*s =\bruch{2}{3}*\wurzel{3}*s [/mm] (negative Lösung macht keinen Sinn)
Berechnung der Mantelfläche:
Das schaffe ich jetzt zeitlich nicht mehr, aber die Höhe der Dreiecke über Pythagoras plus die Fläche der Dreiecke wirst du sicher hinbekommen  .
Gruß,
weightgainer
|
|
|
| |
|
> Jetzt die Extremstellen-Kandidaten ermitteln:
> [mm]V'(h)=0 \gdw h^2 = \bruch{1}{3}s^2 \gdw h = \pm \bruch{1}{\wurzel{3}}*s = \pm \bruch{1}{3}*\wurzel{3}*s[/mm]
>
Warum ist
[mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] = [mm] \pm \bruch{1}{3}*\wurzel{3} [/mm] hihi?
|
|
|
| |
|
Hallo
du kannst doch die im Nenner stehende 3 schreiben als
[mm] \wurzel{3}*\wurzel{3}, [/mm] dann [mm] \wurzel{3} [/mm] kürzen,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mo 31.08.2009 | | Autor: | konqui |
| Aufgabe | | Frage zu Nebenbedingung |
Ist im ersten Posting in der NB nicht ein Fehler?
Die anfgeführte Formel [mm] h=\wurzel{s^2-(a/2)^2} [/mm] würde für mich nicht die Höhe der Pyramide ergeben, sondern vielmehr die Höhe einer Seitenfläche - oder liege ich da falsch?
|
|
|
| |
|
Hallo konqui!
Du hast Recht! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Für die Höhe der Pyramide gilt:
$$h \ = \ [mm] \wurzel{s^2-\bruch{a^2}{2}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Gabs |
Richtig bemerkt konqui, bin auch der Meinung.
|
|
|
|
