Maximierung des Volumens < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Tategoi |
Hi,
entweder habe ich ein Brett vorm Kopf oder ich sollte dringend den Stoff aus der Oberstufe wiederholen :-(
Folgendes Problem: Ich habe ein Stück Folie(2,7x2,1m), das ich verwenden möchte, um ein recheckiges Becken von innen auszukleiden. Bei verschiedenen Beispielrechnungen habe ich festgestellt, dass sich das Volumen des sich ergebenden Behälters ändert und einen Maximalwert in der Nähe von 50cm Beckenhöhe erreicht. Allerdings ist es mir bisher nicht gelungen, hierfür eine Formel zu konstruieren, die mir abhängig von den Parametern Länge und Breite der Folie das optimale Höhenmaß des Behälters für das maximale Volumen errechnet. Kann mir jemand von Euch weiterhelfen??
Ich werd wahnsinnig!
cu Tategoi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Tategoi
> Hi,
> entweder habe ich ein Brett vorm Kopf oder ich sollte
> dringend den Stoff aus der Oberstufe wiederholen :-(
> Folgendes Problem: Ich habe ein Stück Folie(2,7x2,1m), das
> ich verwenden möchte, um ein recheckiges Becken von innen
> auszukleiden. Bei verschiedenen Beispielrechnungen habe ich
> festgestellt, dass sich das Volumen des sich ergebenden
> Behälters ändert und einen Maximalwert in der Nähe von 50cm
> Beckenhöhe erreicht. Allerdings ist es mir bisher nicht
> gelungen, hierfür eine Formel zu konstruieren, die mir
> abhängig von den Parametern Länge und Breite der Folie das
> optimale Höhenmaß des Behälters für das maximale Volumen
> errechnet. Kann mir jemand von Euch weiterhelfen??
> Ich werd wahnsinnig!
>
Nun, sagen wir mal, die Folie habe die Länge $a_$ und die Breite $b_$.
Man muss doch an den Ecken jeweils ein Quadrat, sagen wir mit der Seitenlänge $x_$ herausschneiden, um den Behälter falten zu können.
Der Boden dieses Behälters hat dann die Masse $a-2x$ und $b-2x$, die Höhe hat den Wert $x_$.
Somit rechnet sich das Volumen zu: (Länge mal Breite mal Höhe)
$(a-2x)*(b-2x)*x$ oder
[mm] $abx-2ax^2-2bx^2+4x^3$
[/mm]
Du weisst, dass eine Bedingung, dass eine Funktion minimal wird, ist, dass an dieser Stelle die 1. Ableitung der funktion Null sein muss. Für ein Minimum muss dann die 2. Ableitung kleiner als Null sein.
Berechnen wir also die 1. Ableitung und setzen sie Null:
[mm] $ab-4ax-4bx+12x^2=0$
[/mm]
[mm] $12x^2-4(a+b)x+ab=0$
[/mm]
Daraus kannst du zwei x-Werte berechnen.
Setze diese in der 2. Ableitung ein und wähle jenen aus, der in die 2. Ableitung eingesetzt einen negativen Wert ergibt.
Die 2. Ableitung ist ja:
$24x-4(a+b)$
Kannst du deine Aufgabe nun lösen?
Mit lieben Grüssen
Paul
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