Maximierung im Dreieck < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \Delta [/mm] ein abgeschlossenes Dreieck in [mm] \IC [/mm] mit den Ecken a,b und c, sodass |a-b|=|b-c|=|c-a|.
Zeigen Sie:
[mm] max\{|z-a|\cdot|z-b|\cdot|z-c|: z\in \Delta\}=\bruch{\wurzel{3}}{8}|a-b|^3 [/mm] |
Hi,
ich habe ein Problem mit der obigen Aufgabe. Ich habe einfach versucht die Gleichung mit einem Maximierungsansatz zu lösen.
Ich setze [mm] f(z)=|z-a|^2 \cdot |z-b|^2 \cdot |z-c|^2, [/mm] und erhalte für die erste Ableitung dann ein Polynom fünften Grades.
Das kann man ja nicht ohne weiteres auflösen, daher denke ich dass mein Ansatz nicht richtig, bzw. nicht optimal ist.
Habt ihr eine Idee, wie ich da ran gehen kann?
Danke schon mal
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> Es sei [mm]\Delta[/mm] ein abgeschlossenes Dreieck in [mm]\IC[/mm] mit den
> Ecken a,b und c, sodass |a-b|=|b-c|=|c-a|.
> Zeigen Sie:
> [mm]max\{|z-a|\cdot|z-b|\cdot|z-c|: z\in \Delta\}=\bruch{\wurzel{3}}{8}|a-b|^3[/mm]
>
> Hi,
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> ich habe ein Problem mit der obigen Aufgabe. Ich habe
> einfach versucht die Gleichung mit einem Maximierungsansatz
> zu lösen.
> Ich setze [mm]f(z)=|z-a|^2 \cdot |z-b|^2 \cdot |z-c|^2,[/mm] und
> erhalte für die erste Ableitung dann ein Polynom fünften
> Grades.
> Das kann man ja nicht ohne weiteres auflösen,
Du meinst die Nullstellengleichung der Ableitung? Hast Du denn die Ableitung nicht mit der Produktregel bestimmt (Du leitest hier ja ein Produkt von Quadraten ab, so dass bei Ableiten eines jeden Faktors nicht nur die anderen beiden Faktoren, sondern auch der abgeleitete Faktor in der ersten Potenz drin bleiben wird). In diesem Falle müsste es doch möglich sein, den einen oder anderen Faktor auszuklammern, so dass der Grad der verbleibenden zu lösenden Nullstellengleichung entsprechend kleiner wird.
> daher denke
> ich dass mein Ansatz nicht richtig, bzw. nicht optimal
> ist.
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> Habt ihr eine Idee, wie ich da ran gehen kann?
>
>
> Danke schon mal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Mo 25.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
z ist ein Punkt in einem gleichseitigen Dreieck, das ist kaum eine komplexe Aufgabe das max zu finden.
aber wenn du willst leg a=(0,0) b=(1,0) und [mm] c=(0.5,1/2\wurzel{3})
[/mm]
das max wird weder durch die Lage noch die Grösse geändert. (es wird erreicht auf einer Seitenmitte).
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Mo 25.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
danke für die schnellen Antworten...
Die Idee die Punkte festzulegen finde ich gut. Ich werde es mit einem Parameter machen, sodass wirklich alle beliebigen gleichseitigen Dreiecke abgedeckt sind.
Ich werde beide Wege mal ausprobieren.
Danke
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Hi,
irgendwie gelingt es mir nicht auf das geforderte Ergebnis
[mm] \bruch{\wurzel{3}}{8}|a-b|^3 [/mm] zu kommen.
Ich habe folgende Zwischenergebnisse:
gewählt habe ich a=-p, b=p, [mm] c=i\wurzel{3}p.
[/mm]
|a-b|=|b-c|=|c-a|=2p
[mm] g(z)=|z-a|\cdot|z-b|\cdot|z-c|
[/mm]
[mm] f(z)=(z-a)^2(z-b)^2(z-c)^2
[/mm]
f'(z)=2(z-a)(z-b)(z-c)[(z-a)(z-b)+(z-a)(z-c)+(z-b)(z-c)]
Setze ich nun a,b und c in [...]=0 ein, folgt
[mm] 3z^2-2i\wurzel{3}p\cdot z-p^2=0
[/mm]
Ich erhalte als Lösung
[mm] z=i\bruch{\wurzel{3}}{3}p
[/mm]
Setze ich z nun in g ein, erhalte ich allerdings als Ergebnis:
[mm] \bruch{8}{\wurzel{3}}\bruch{p^3}{3}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mo 25.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein f(z) hat mit dem Produkt der Beträge nix mehr sehr zu tun! [mm] |z-a|^2\ne (z-a)^2
[/mm]
den g ist eine reelle fkt. keine komplexe.
Wenn du die 3 Punkte auf dem Einheitskreis verteilst, 1, [mm] e^{2\pi/3*i} [/mm] und [mm] e^{-2\pi/3*i}, [/mm] kommst du auf das Produkt
[mm] z^3-1 [/mm] davon jetzt den Betrag, ist nicht ganz leicht, aber vielleicht machbar.
evt. benutzen, dass das max auf der Mitte der Seiten angenommen wird also hier bei z=-0,5
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Mo 25.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
ich habe inzwischen auch den Fehler wegen Nicht-Beachten des Komplexen bemerkt.
Die Randlösung z=0 (im Fall a=-p, b=p, [mm] c=ip\wurzel{3}) [/mm] liefert mir dann aber das gewünschte Ergebnis. Deine Vermutung ist also korrekt.
Alles was ich bräuchte, wäre also eine Begründung weswegen ich das Maximum auf der Mitte der Seite vermute.
Die Begründung kommt aus deinem letzten Tipp auch nicht so gut raus. Das wäre noch wichtig, bevor ich mich auf diese immense Schreibarbeit stürze.
Danke für deine schnelle Hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Di 26.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
ich habe jetzt folgende Halblösung. Ich behaupte, dass z=0 (also die Seitenmitte) den Term maximiert.
Dann beweise ich (1), dass ein Abweichen auf der reellen Achse diesen Wert ebensowenig vergrößert, wie (2) ein Abweichen auf der imaginären Achse.
(Abweichen bis zum Eckpunkt, und immer innerhalb des Dreiecks).
Was mir noch fehlt ist ein Beweis, (3) dass auch Punkte innerhalb des Kreises mit |Re(z)|>0 und Im(z)>0 den Wert nicht maximieren können.
Im Beispiel a=-1, b=1, [mm] c=i\wurzel{3} [/mm] ist übrigens [mm] |z-a||z-b||z-c|=\wurzel{3}.
[/mm]
Wenn ihr noch eine Idee habt, wie ich den letzten Schritt (3) des Beweises zeigen kann, wäre ich euch dankbar. Ist aber nicht so wichtig, dass ihr dafür zu viel Zeit investieren müßt.
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