Maximum-Likelihood-Schätzer < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Mo 28.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich versuche es einmal mit einer etwas unkonkreten Frage.
Ich suche einen Link - gerne auch eine Erklärung hier -, der/die mir verdeutlicht, wie ich den
Maximum-Likelihood-Schätzer für eine hypergeometrische Verteilung erhalte.
Ich dachte, dass Prinzip verstanden zu haben, aber auf die hypergeometrische Verteilung kann ich es nicht anwenden.
Bin dankbar für jeden Hinweis.
MfG barsch
Habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Di 29.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin barsch,
leider ist deine Frage nicht eindeutig gestellt, denn es gibt ML-Schaetzer
fuer M oder N, s.u.
Ich will deine Frage mal an einem Beispiel beantworten, und zwar fuer N. In einem Teich
ohne Zu- oder Abfluss befinden sich N Barsche  . Diese Anzahl soll
geschaetzt werden. Zu diesem Zweck werden M Fische gefangen, markiert und
wieder freigesetzt. Nach einem Monat werden n Fische gefangen und
ausgezaehlt, wieviel markierte Fische sich darunter befinden.
Hier kann man das Modell der hypergeomtrischen Verteilung unterstellen mit
[mm] $P(X=x)=\frac{{M\choose x}{N-M\choose n-x}}{{N\choose n}}$
[/mm]
Gesucht ist dasjenige $N$, welches $P(X=x)$ maximiert. Du hast recht,
Methoden der Differenzialrechnung kann man hier nicht ohne weiteres anwenden,
da der Parameter N eine natuerliche Zahl ist. Betrachte $P(X=x)$ als
Funktion von N, sagen wir [mm] $\psi(N)$. [/mm] Es gilt
[mm] $\frac{\psi(N+1)}{\psi(N)}=\frac{(N+1)(N+1-M-n+x)}{(N+1-M)(N+1-n)}$.
[/mm]
Um das Maximum zu bestimmen, bestimmen wir den Bereich der N-Werte, wo der
Quotient groesser (kleiner) ist als 1. Die beiden Bereiche werden durch
[mm] $N_0=Mn/x-1$ [/mm] getrennt. Der ML-Schaetzer fuer N ist also $Mn/X-1$.
Ich ueberlasse es dir, den ML-Schaetzer fuer M (bei bekanntem N und
gegebenem x) zu finden. Loesung: Groesste ganze Zahl [mm] $\le [/mm] x(N+1)/n$.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Di 29.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
ich moechte ja den Bereich finden, wo [mm] $\psi$ [/mm] waechst bzw. faellt, wo also
gilt [mm] $\psi(N)\le \psi(N+1)$ [/mm] bzw. [mm] $\psi(N)\ge \psi(N+1)$. [/mm] Das aber ist
aequivalent mit [mm] $\psi(N+1)/\psi(N)\ge [/mm] 1$ bzw. [mm] $\psi(N+1)/\psi(N)\le [/mm] 1$.
Der Quotient [mm] $\psi(N+1)/\psi(N)$ [/mm] wird betrachtet, weil sich dadurch so schoen
viel Ballast wegkuerzt.
vg Luis
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