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| Aufgabe | Gegeben ist ein Modell für eine Messreihe [mm] y_{i}=\mu+u_{i}, i=1,\ldots,n. [/mm] Die Störterme [mm] u_{i} [/mm] sind unabhängig und identisch normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz [mm] \sigma^{2}.
[/mm]
a) Stellen Sie die Dichtefunktion für eine einzelne Messung [mm] y_{i}.
[/mm]
b) Entwickeln Sie daraus die Loglikelihood-Funktion für die gesamte Stichprobe.
c) Leiten Sie die Maximum-Likelihood-Schätzer für die Parameter [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma^{2} [/mm] ab.
Wenn Sie die Likelihhod-Gleichungen bezüglich der alternativen Parametrisierungen [mm] (\mu,\sigma^{2}) [/mm] oder [mm] (\mu,\sigma) [/mm] bilden, erhalten Sie in beiden Fällen die gleichen Punktschätzer (Invarianzprinzip). Die Hesse-Matrizen unterscheiden sich jedoch und die Erwartungswerte sind
[mm] E(H(\infty,\sigma^{2}))=\pmat{ -n\sigma^{-2} & 0 \\ 0 & -\bruch{1}{2}n\sigma^{-4} } [/mm] bzw. [mm] E(H(\infty,\sigma))=\pmat{ -n\sigma^{-2} & 0 \\ 0 & -2n\sigma^{-2} }.
[/mm]
Gegeben ist die Messreihe [mm] y=(-3,1,4,-2,5)^{T} [/mm] mit n=5 Beobachtungen. Sie sind daran interessiert, ob diese Daten standardnormalverteilt sind.
d) Testen Sie die Nullhypothese [mm] H_{0}:\mu=0, \sigma^{2}=1 [/mm] mit dem Wald-Test bei einem Signifikanzniveau von 10%.
e) Testen Sie die Nullhypothese [mm] H_{0}:\mu=0, \sigma=1 [/mm] mit dem Wald-Test bei einem Signifikanzniveau von 10%.
f) Interpretieren Sie die Unterschiede der beiden Testergebnisse und erklären Sie dabei das spezielle Problem des Wald-Tests in dieser Situation. |
Hallo zusammen!
Die Aufgaben a) bis c) fasse ich mal mit den folgenden Ergebnissen zusammen:
[mm] \hat\mu=\overline{y}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm] und
[mm] \hat\sigma^{2}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(y_{i}-\mu)^{2}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}
[/mm]
Zunächst würde ich gerne den Aufgabenteil d) besprechen. Der Wald-Test lautet im Allgemeinen
[mm] W=r(\hat\theta)^{T}\cdot{}(R(\hat\theta)V(\hat\theta)R(\hat\theta)^{T})^{-1}r(\hat\theta), [/mm] mit [mm] \bruch{\partial{r(\hat\theta)}}{\partial\theta}=R(\hat\theta) [/mm] und [mm] r(\hat\theta)=\hat\theta-\theta_{0} [/mm] sowie [mm] V=-E(H)^{-1}
[/mm]
Die V-Matrix kann ich mit Hilfe der Berechnungsformel zur Inversen einer 2x2-Matrix berechnen. Sie lautet dann
[mm] V(H(\infty,\sigma^{2}))=\pmat{ \bruch{\sigma^{2}}{n} & 0 \\ 0 & \bruch{2\sigma^{4}}{n} }=\pmat{ 10 & 0 \\ 0 & 40 }
[/mm]
Die Restriktionsmatrix erhalte ich zu
[mm] r(\hat\mu,\hat\sigma^{2})=\vektor{\hat\mu-\mu_{0} \\ \hat\sigma^{2}-\sigma^{2}_{0}}=\vektor{1-0 \\ 10-1}=\vektor{1 \\ 9}
[/mm]
Darüber hinaus ist
[mm] R(\hat\mu,\hat\sigma^{2})=\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Setze ich diese Vektoren in den Wald-Test ein, so erhalte ich W=1,95. Das entsprechende Quantil der [mm] \chi^{2}-Verteilung [/mm] lautet [mm] \chi^{2}_{0,90}(2)=4,605. [/mm] Da [mm] W<\chi^{2}_{0,90}(2) [/mm] kann die Nullhypothese für [mm] \alpha=0,1 [/mm] nicht verworfen werden.
Stimmt der vorangehende Rechenweg bzw. wurde der Test korrekt durchgeführt? Über hilfreiche Antworten würde ich mich freuen; vielen Dank!
Viele Grüße, Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 08.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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