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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Di 01.11.2011 | | Autor: | geraldvb |
| Aufgabe | Gegeben sei ein gezinkter Würfel. Es gilt:
P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = 5) = 1/6
P(X = 1) = 1/6 -q
P(X = 6) = 1/6 +q
q = [0;1/6]
1-ii) Bei einer einfachen Stichprobe wird folgendes Resultat erzielt:
x = (6, 4, 2, 1, 2, 3, 6, 3, 4, 5)
Welcher Wert für den unbekannten Parameter q ist für die gegeben Beobachtungen
richtig? Benutzen Sie zur Bestimmung des Parameters die ML-Methode.
a) ˆ q= 1/18
b) ˆ q= 1/19
c) ˆ q= 1/17
d) ˆ q= 1/20
e) Keine der obigen Antworten ist richtig. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
wir sind in unserer Lerngruppe wieder am verzweifeln.
Wir sollen mit der ML-Methode den Parameter q bestimmen.
Zuerst haben wir die Likelihoodfunktion gesucht:
L= die einzelnen Wahrscheinlichkeiten multipliziert, also:
[mm] (1/6)^7*(1/6+q)^2*(1/6-q) [/mm] und umgestellt. habens auch mit ableiten versucht, aber keine Chance...
Im Skript steht ein Aspekt der Dichtefunktion.
Ist das der richtige Schritt zur Lösung oder wie genau sieht der aus?
(Rein geschätzt würde ich mal vermuten, dass das Ergebnis 1/18 ist wegen der Sechstel ;) )
Wir wären für jede Hilfe dankbar!
Grüße
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> Man gebe kombinatorische Beweise für die folgenden
> Binomialidentitäten:
> (a) [mm]n\cdot { n-1 \choose k-1 } = k \cdot {n\choose k }[/mm]
> (b) [mm]\sum_{i=0}^n i\cdot {n\choose i} = n\cdot 2^{n-1} [/mm]
> (c) [mm]{n+1\choose k+1} = \sum_{m=k }^n {m\choose k}[/mm]
> (d) [mm]{n\choose k } {k \choose m } = { n\choose m } {n-m \choose k-m }[/mm]
>
> zu (a): die rechte Seite ist die Anzahl aller
> Möglichkeiten aus einer
> n-Menge eine k-Menge auszuwählen und dort ein Element
> "rot" zu färben,
> nennen wir dies a bei einer beliebigen Menge A.
> Grund: Jede Teilmenge hat ja [mm]k-[/mm]Elemente und ich habe bei
> jeder Teilmenge
> ja die Möglichkeit ein Element zu färben und das kann
> ich wohl [mm]k[/mm] mal
> machen, also...
>
> So, bei der rechten Seite scheint es günstig zu sein,
> dieses angefärbte
> Element in den Teilmengen zu "suchen". Wenn ich wissen
> will, wo es
> vorkommt, nehme ich es überall dort raus, wo es vorkommt,
> denn so kann
> ich Methoden anwendbar machen und die Anzahl der
> Teilmengen verändert
> sich ja dadurch offenbar nicht...
> Nun, wenn ich das a aus allen Teilmengen entferne, wo es
> drinnen liegt, redzuziert sich die Anzahl der Elemente bei
> diesen Teilmengen um 1. Da es dann aber in KEINER Teilmenge
> mehr drinnen ist, ist es so, als würde ich von der
> Hauptmenge [mm]X:=1,2, \ldots,n[/mm] ein Element nehmen und erhalte
> so alle Teilmengen von [mm]X\setminus\{a\} .[/mm] Also ergibt dies
> [mm]{n-1 \choose k-1}[/mm]
> Mein Problem ist jedoch, dass ich
> kombinatorisch nicht einsehe, wie man auf das n auf der
> linken Seite kommen soll. Ich habe ein beliebiges, aber
> festes angemaltes Element betrachtet und es abgezählt.
> Warum sollte die Anzahl n mal so hoch sein, wie mein
> Resultat?
>
> Kann mir dabei jemand helfen?
>
>
>
> Zu b)
> Folgt sofort aus (a), wenn man die rechte Seite von (a)
> aufsummiert; es ist klar, dass daraus die
> Potenzmengenmächtigkeit resultiert...
>
> Zu c) Mit Induktion: Der Induktionsanfang ist klar. Der
> Induktionsschluss folgt ganz einfach durch kombinatorische
> Summenaufpsaltung der rekursiven Art: [mm]{n\choose k } = { n-1 \choose k -1 } + {n-1 \choose k} [/mm].
> Rin rein kombinatorischer Beweis scheint mir hier zu
> schwierig und wenn nicht gar unmöglich. Was sagt ihr?
>
> Zu d)
> Wenn (a) richtig ist, lässt sich dieses leicht auf (d)
> verallgemeinern, man hat ja immerhin einerseits [mm]{n\choose 1}[/mm]
> und andererseits [mm]{k \choose 1}[/mm] stehen... man färbt also
> diesmal nicht ein - sondern [mm]k[/mm] Elemente zu färben. Meine
> Argumente scheinen aber schwammig zu sein... Ich tu mir ein
> wenig schwer hier in der Unterscheidung von "rein
> beliebiges Argument" vs. "beliebiges, jedoch festes
> Element"... Kann mir da jemand ein wenig helfen?
>
>
> Gegeben sei ein gezinkter Würfel. Es gilt:
> P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = 5) = 1/6
> P(X = 1) = 1/6 -q
> P(X = 6) = 1/6 +q
> q = [0;1/6]
> 1-ii) Bei einer einfachen Stichprobe wird folgendes
> Resultat erzielt:
> x = (6, 4, 2, 1, 2, 3, 6, 3, 4, 5)
> Welcher Wert für den unbekannten Parameter q ist für die
> gegeben Beobachtungen
> richtig? Benutzen Sie zur Bestimmung des Parameters die
> ML-Methode.
> a) ˆ q= 1/18
> b) ˆ q= 1/19
> c) ˆ q= 1/17
> d) ˆ q= 1/20
> e) Keine der obigen Antworten ist richtig.
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> wir sind in unserer Lerngruppe wieder am verzweifeln.
> Wir sollen mit der ML-Methode den Parameter q bestimmen.
>
> Zuerst haben wir die Likelihoodfunktion gesucht:
> L= die einzelnen Wahrscheinlichkeiten multipliziert,
> also:
>
> [mm](1/6)^7*(1/6+q)^2*(1/6-q)[/mm] und umgestellt. habens auch mit
> ableiten versucht, aber keine Chance...
So schwer ist das aber nicht, diesen Ausdruck nach q abzuleiten. [mm] (1/6)^7 [/mm] spielt als Konstante keine Rolle, der Resr ist ein Polynom 3. Grades.
>
> Im Skript steht ein Aspekt der Dichtefunktion.
Hier geht es um ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmodell, da gibt es keine Dichtefunktion.
> Ist das der richtige Schritt zur Lösung oder wie genau
> sieht der aus?
>
> (Rein geschätzt würde ich mal vermuten, dass das Ergebnis
> 1/18 ist wegen der Sechstel ;) )
> Wir wären für jede Hilfe dankbar!
>
> Grüße
>
>
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