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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Mi 29.12.2010 | | Autor: | ggg |
| Aufgabe | Seien [mm] A,B\subseteq \IR,A,B\not=\emptyset [/mm] und es existieren max A und max B.
Beweisen Sie aus [mm] A\subseteq [/mm] B folgt max [mm] A\le [/mm] max B. |
Hallo zusammen,
ich habe mich mich an dem Beweis herangewagt, aber ich bin mir nicht sicher ob mein Beweis so hin haut. Es wäre sehr freundlich wenn ihr mal darauf einen Blick werfen würdet.
Vor.: Seien [mm] A,B\subseteq \IR,A,B\not=\emptyset [/mm] und es existieren max A und max B
Beh.: Aus [mm] A\subseteq [/mm] B folgt max [mm] A\le [/mm] max B
Beweis.
Es sei [mm] A\times [/mm] B eine Menge und R eine Ordungsrelation auf [mm] A\times [/mm] B mit [mm] R:=\{(a,b)\in A\times B |a\le b\}, [/mm] wobei [mm] A,B\subseteq \IR [/mm] und [mm] A\subseteq [/mm] B.
Da für A und B laut Vorraussetztung ein Maximum existiert, folgt wegen [mm] A\subseteq [/mm] B dass das max A [mm] \in [/mm] A sowohl auch in B enthalten ist. Laut Vorraussetzung besitzt B ebenso ein Maximum mit max [mm] B\in [/mm] B. Wegen der Defintion von R folgt für das Maximum von A und B max [mm] A\le [/mm] max B. [mm] \Box
[/mm]
Ist das so Richtig oder habe ich dort einen Denkfehler?
mfg
Jonas
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Hi Jonas!
> Ist das so Richtig oder habe ich dort einen Denkfehler?
Das ist richtig. Du könntest noch hinzufügen, warum die Ordnungsrelation just aus $ A [mm] \subseteq [/mm] B $ folgt.
Warum gibt es kein Element $ a [mm] \in [/mm] A $ mit $ a > b $ für alle $ b [mm] \in [/mm] B $?
Eigentlich eine triviale Geschichte, aber als Übung trotzdem kein Unding.
>
> mfg
> Jonas
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:33 Fr 31.12.2010 | | Autor: | ggg |
So trivial deine 2 Fragen erscheinen mag, bin ich mir nicht sicher ob meine Antworten dafür richtig sind.
1. Frage: Warum folgt die Ordnungsrelation R aus A [mm] \subseteq [/mm] B
Sei [mm] A\subseteq [/mm] B und [mm] O:=\{(a,b)\in A\times B |a\subseteq b\} [/mm] eine Ordnungsrelation auf [mm] A\times [/mm] B, da Reflexivität, Antisymmetrie und Transivität erfüllt sind.
Da A eine Teilmenge von B ist, sind demzufolge auch die Elemente aus A in B enthalten. Dadurch kann man die Elemente von A und B durch ihre Größe zueinander vergleichen mit der Ordnungsrelation [mm] R:=\{(a,b)\in A\times B |a\le b\}. [/mm]
Also folgt aus [mm] O:=\{(a,b)\in A\times B |a\subseteq b\}\Rightarrow R:=\{(a,b)\in A\times B |a\le b\}.
[/mm]
2. Frage: Warum gibt es kein Element a [mm] \in [/mm] A mit a > b für alle b [mm] \in [/mm] B ?
Da A eine Teilmenge von B ist und somit die Elemente aus A in b enthalten sind, können die Elemente aus A höchstens so groß wie die Elemente aus B sein. Angenommen es gäbe ein a aus A das größer als b aus B ist für alle b aus B, so würde das bedeuten das es ein Element existiert das nicht in B enthalten ist und somit wäre B keine Obermenge von A, was ein Widerspruch zur Vorraussetzung ist.
Ist das so richtig und falls ja, geht es einfacher?
mfg
Jonas
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Hi Jonas,
> So trivial deine 2 Fragen erscheinen mag, bin ich mir nicht
> sicher ob meine Antworten dafür richtig sind.
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> 1. Frage: Warum folgt die Ordnungsrelation R aus A
> [mm]\subseteq[/mm] B
>
> Sei [mm]A\subseteq[/mm] B und [mm]O:=\{(a,b)\in A\times B |\red{a\subseteq b}\}[/mm]
> eine Ordnungsrelation auf [mm]A\times[/mm] B, da Reflexivität,
> Antisymmetrie und Transivität erfüllt sind.
> Da A eine Teilmenge von B ist, sind demzufolge auch die
> Elemente aus A in B enthalten. Dadurch kann man die
> Elemente von A und B durch ihre Größe zueinander
> vergleichen mit der Ordnungsrelation [mm]R:=\{(a,b)\in A\times B |a\le b\}.[/mm]
> Also folgt aus [mm]O:=\{(a,b)\in A\times B |\red{a\subseteq b}\}\Rightarrow R:=\{(a,b)\in A\times B |a\le b\}.[/mm]
Der rotmarkierte Teil ergibt keinen Sinn. Aber mit deiner Antwort weiter unten hast du es auf den Punkt gebracht.
>
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> 2. Frage: Warum gibt es kein Element a [mm]\in[/mm] A mit a > b
> für alle b [mm]\in[/mm] B ?
>
> Da A eine Teilmenge von B ist und somit die Elemente aus A
> in b enthalten sind, können die Elemente aus A höchstens
> so groß wie die Elemente aus B sein. Angenommen es gäbe
> ein a aus A das größer als b aus B ist für alle b aus B,
> so würde das bedeuten das es ein Element existiert das
> nicht in B enthalten ist und somit wäre B keine Obermenge
> von A, was ein Widerspruch zur Vorraussetzung ist.
>
> Ist das so richtig und falls ja, geht es einfacher?
Genau. Aus dieser Tatsache folgt, dass deine Ordnungsrelation $ R $ auf $ A [mm] \times [/mm] B $ immer existiert. Die Relation $ a [mm] \le [/mm] b $ für alle $ a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B $ ist immer erfüllt.
Ich wollte dich aber nicht zu sehr von der Spur bringen. Dein erster Ansatz im Eingangspost war völlig in Ordnung.
>
> mfg
> Jonas
Grüße
ChopSuey
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 05:06 Fr 31.12.2010 | | Autor: | ggg |
| Aufgabe | Seien [mm] A,B\subseteq \IR,A,B\not=\emptyset [/mm] und es existieren max A und max B.
Beweisen Sie:
(i) Für die Menge [mm] A+B:=\{a+b|a\in A, b\in B\} [/mm] gilt: max(A+B)=max A + max B.
(ii) Jede nicht leere Teilmenge [mm] B\subseteq \IN [/mm] natürlicher Zahlen besitzt ein kleinstes Element. |
Ich hätte noch zwei ähnliche Aufgaben, die hier mal rein posten werde, da ein zweiter Thread dazu vielleicht unnötige Verwirrungen stiften könnte. Sofern man dennoch darauf besteht, werde ich dann dafür einen neuen Thread eröffnen.
Zu (i)
Vor.: Seien [mm] A,B\subseteq \IR,A,B\not=\emptyset [/mm] und es existieren max A und max B
Beh.: Für die Menge [mm] A+B:=\{a+b|a\in A, b\in B\} [/mm] gilt: max(A+B)=max A + max B.
Beweis.
Definiert seien die Mengen [mm] A:=\{a|a\in A\} [/mm] , [mm] B:=\{b|b\in A\}
[/mm]
und [mm] A+B:=\{a+b|a\in A, b\in B\}.
[/mm]
Da die Menge [mm] \IR [/mm] ein Körper ist, der total geordnet ist, sind demzufolge die Maxima der Teilmengen von [mm] \IR [/mm] eindeutig bestimmt, die nach Vorrausetzung für A und B existieren. Wir bezeichnen das Maximum von A mit a'= max [mm] A\in [/mm] A (1) und das Maximum von B mit b'= max [mm] B\in [/mm] B (2). Ebenso bezeichnen wir das Maximum der Menge A+B folglich mit [mm] a'+b'=max(A+B)\in [/mm] A+B. Für max(A+B) ergibt sich durch Einsetzen von (1)und(2)dann a'+b'=max A + max B=max(A+B) [mm] \Box
[/mm]
Zu (ii)
Beh.: Jede nicht leere Teilmenge [mm] B\subseteq \IN [/mm] natürlicher Zahlen besitzt ein kleinstes Element.
Bemerkung:
Hierzu nahm ich das Archimedisches Prinzip zu Hilfe welches besagt:
Die natürlichen Zahlen sind bezüglich der üblichen Ordnungsrelation “≤” wohlgeordnet ,
d.h.:
Jede nicht-leere Menge natürlicher Zahlen enthält eine kleinste Zahl.
Beweis.
Aus dem Archimedisches Prinzip folgt unmittelbar die Behauptung [mm] \Box
[/mm]
Ist das soweit so richtig oder hat sich im Beweis ein Fehler eingeschlichen!
mfg
Jonas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Mo 31.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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