Maximum Minimum Prinzip < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Satz:
[mm] \lambda_1 \ge [/mm] ... [mm] \ge \lambda_n [/mm] Eigenwerte einer Matrix A.
[mm] x_i [/mm] seien die orthonomierten Eigenvektoren, i =1,...,n .
[mm] {z_1 , ... , z_n } \subset IK^n [/mm] orthonormales System.
Dann gilt [mm] \forall [/mm] k=1,..,n :
[mm] min_{0 \not= x \in Z_k} \bruch{(Ax,x)}{(x,x)} \le \lambda_k [/mm]
[Anmerkung: [mm] Z_k [/mm] = span [ [mm] {z_1 ,..., z_k }] [/mm]
|
Hallo ,
zum Beweis dieses Satzes habe ich ein paar Fragen .
Ich fang einfach mal an:
Beweis:
k=1
Behauptung folgt aus der Tatsache, dass [mm] \lambda_n \le \bruch{(Ax,x)}{(x,x)} \le \lambda_1 \forall [/mm] x
Frage: Wieso folgt die Behauptung daraus?
[mm] \lambda_n \le \bruch{(Ax,x)}{(x,x)} \le \lambda_1 \forall [/mm] x gilt doch für x [mm] \in IK^n [/mm] , also ist doch hier k=n ??
k>1
Es wird ein Vektor 0 [mm] \not= [/mm] x = [mm] \summe_{i=1}^{k} \gamma_i z_i \in Z_k [/mm] konstruiert, der senkrecht auf den Eigenvektoren [mm] x_1 [/mm] ,..., [mm] x_{k-1} [/mm] steht.
Frage: Wieso kann man so ein x konstruieren ?? Ist das nicht eine Einschränkung, dass x senkrecht auf den Eigenvektoren stehen soll???
Dann erfüllen die Koeffizienten [mm] \gamma_1 [/mm] ,..., [mm] \gamma_k [/mm] das homogene
lineare Gleichungssystem:
(*) [mm] (x,x_j) [/mm] = ( [mm] \summe_{i=1}^{k} \gamma_i z_i [/mm] , [mm] x_j [/mm] )
= [mm] \summe_{i=1}^{k} \gamma_i (z_i [/mm] , [mm] x_j [/mm] )
= 0 für j= 1,..., k-1
Dieses Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es hat k-1 Gleichungen und k Unbekannte. Daher hat es eine nichttriviale Lösung [mm] [\gamma_1 [/mm] ,..., [mm] \gamma_k ]^{T} \not= [/mm] 0 .
Wird der zugehörige Vektor x [mm] \not= [/mm] 0 in die Eigenbasis von A umentwickelt,
also x = [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_i x_i [/mm]
dann folgt:
(x,x) = [mm] \summe_{i=1}^{n} |\alpha_i |^2 [/mm]
und
(Ax,x) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_i (\lambda_i x_i [/mm] , x)
= [mm] \summe_{i=k}^{n}\lambda_i \alpha_i [/mm] ( [mm] x_i [/mm] , x) nach (*)
= [mm] \summe_{i=k}^{n} \lambda_i \alpha_i [/mm] ( [mm] x_i [/mm] , [mm] \summe_{j=1}^{n} \alpha_j x_j [/mm] )
= [mm] \summe_{i=k}^{n} \lambda_i \alpha_i \summe_{j=1}^{n} \overline{\alpha_j } [/mm] ( [mm] x_i [/mm] , [mm] x_j [/mm] )
= [mm] \summe_{i=k}^{n} \lambda_i \alpha_i \overline{\alpha_i} [/mm]
= [mm] \summe_{i=k}^{n} \lambda_i |\alpha_i |^2 [/mm]
[mm] \le \lambda_k \summe_{i=k}^{n} |\alpha_i |^2 [/mm]
Dies entspricht der Ungleichung :
(Ax,x) [mm] \le \lambda_k [/mm] (x,x)
womit die Behauptung bewiesen wäre.
Frage: Wieso ist damit die Behauptung bewiesen?? Da steht
doch jetzt nur [mm] \bruch{(Ax,x)}{(x,x)} \le \lambda_k \forall [/mm] x ??
Aber die behauptung war doch gerade, dass das für das minimum gilt und nicht für alle x??
Vielen Dank für HInweise . :)
|
|
| |
|
Hi,
> Satz:
> [mm]\lambda_1 \ge[/mm] ... [mm]\ge \lambda_n[/mm] Eigenwerte einer Matrix A.
> [mm]x_i[/mm] seien die orthonomierten Eigenvektoren, i =1,...,n .
> [mm]{z_1 , ... , z_n } \subset IK^n[/mm] orthonormales System.
> Dann gilt [mm]\forall[/mm] k=1,..,n :
> [mm]min_{0 \not= x \in Z_k} \bruch{(Ax,x)}{(x,x)} \le \lambda_k[/mm]
> [Anmerkung: [mm]Z_k[/mm] = span [ [mm]{z_1 ,..., z_k }][/mm]
>
leider sind mir die voraussetzungen des satzes nicht ganz klar: ist A diagonalisierbar, gibt es also eine basis aus eigenvektoren? was heisst orthonormierte EVen , normiert auf 1 (das ist klar) und paarweise orthogonal? wenn ja, was ist dann der sinn des orthomalen systems [mm] $z_i$? [/mm] unabhängig davon, meine antworten:
> Hallo ,
> zum Beweis dieses Satzes habe ich ein paar Fragen .
> Ich fang einfach mal an:
>
> Beweis:
>
> k=1
> Behauptung folgt aus der Tatsache, dass [mm]\lambda_n \le \bruch{(Ax,x)}{(x,x)} \le \lambda_1 \forall[/mm]
> x
>
> Frage: Wieso folgt die Behauptung daraus?
> [mm]\lambda_n \le \bruch{(Ax,x)}{(x,x)} \le \lambda_1 \forall[/mm]
> x gilt doch für x [mm]\in IK^n[/mm] , also ist doch hier k=n ??
>
die behauptung gilt für alle x, also insbesondere für diejenigen x aus [mm] Z_1.
[/mm]
> k>1
> Es wird ein Vektor 0 [mm]\not=[/mm] x = [mm]\summe_{i=1}^{k} \gamma_i z_i \in Z_k[/mm]
> konstruiert, der senkrecht auf den Eigenvektoren [mm]x_1[/mm] ,...,
> [mm]x_{k-1}[/mm] steht.
>
> Frage: Wieso kann man so ein x konstruieren ?? Ist das
> nicht eine Einschränkung, dass x senkrecht auf den
> Eigenvektoren stehen soll???
dass man so einen vektor konstruieren kann, wird doch im nächsten schritt bewiesen! dort rechnet man explizit die koeffizienten des vektors bzgl. des ONS aus.
>
> Dann erfüllen die Koeffizienten [mm]\gamma_1[/mm] ,..., [mm]\gamma_k[/mm] das
> homogene
> lineare Gleichungssystem:
> (*) [mm](x,x_j)[/mm] = ( [mm]\summe_{i=1}^{k} \gamma_i z_i[/mm] , [mm]x_j[/mm] )
> = [mm]\summe_{i=1}^{k} \gamma_i (z_i[/mm] , [mm]x_j[/mm] )
> = 0 für j= 1,..., k-1
> Dieses Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es hat k-1
> Gleichungen und k Unbekannte. Daher hat es eine
> nichttriviale Lösung [mm][\gamma_1[/mm] ,..., [mm]\gamma_k ]^{T} \not=[/mm]
> 0 .
> Wird der zugehörige Vektor x [mm]\not=[/mm] 0 in die Eigenbasis von
> A umentwickelt,
> also x = [mm]\summe_{i=1}^{n} \alpha_i x_i[/mm]
> dann folgt:
>
> (x,x) = [mm]\summe_{i=1}^{n} |\alpha_i |^2[/mm]
>
> und
>
> (Ax,x) = [mm]\summe_{i=1}^{n} \alpha_i (\lambda_i x_i[/mm] , x)
> = [mm]\summe_{i=k}^{n}\lambda_i \alpha_i[/mm] ( [mm]x_i[/mm] , x) nach (*)
> = [mm]\summe_{i=k}^{n} \lambda_i \alpha_i[/mm] ( [mm]x_i[/mm] ,
> [mm]\summe_{j=1}^{n} \alpha_j x_j[/mm] )
> = [mm]\summe_{i=k}^{n} \lambda_i \alpha_i \summe_{j=1}^{n} \overline{\alpha_j }[/mm]
> ( [mm]x_i[/mm] , [mm]x_j[/mm] )
> = [mm]\summe_{i=k}^{n} \lambda_i \alpha_i \overline{\alpha_i}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=k}^{n} \lambda_i |\alpha_i |^2[/mm]
> [mm]\le \lambda_k \summe_{i=k}^{n} |\alpha_i |^2[/mm]
>
> Dies entspricht der Ungleichung :
> (Ax,x) [mm]\le \lambda_k[/mm] (x,x)
> womit die Behauptung bewiesen wäre.
>
> Frage: Wieso ist damit die Behauptung bewiesen?? Da steht
> doch jetzt nur [mm]\bruch{(Ax,x)}{(x,x)} \le \lambda_k \forall[/mm]
> x ??
> Aber die behauptung war doch gerade, dass das für das
> minimum gilt und nicht für alle x??
wo steht denn, dass die behauptung für alle x gilt?? schau noch mal ein stück nach oben im beweis, für welche(s) x die aussage gilt...
gruss
matthias
|
|
|
| |
|
Hallo,
erstmal danke für die scnhelle Antwort . :)
Voraussetzungen sind:
A ist symmetrsiche Matrix.
Orthonormierte EV heißt auf 1 normiert und paarweise orthogonal.
Dieses Orthonormalsystem von EV bildet eine Basis im [mm] IK^n [/mm] .
Der Sinn des orthonromalen System [mm] z_i [/mm] ? Weiß ich leider auf anhieb auch nicht, muss ich nochmal drüber nachdenken bis heute Abend. Sorry.
Aber auf jeden Fall muss ein x konstruiert werden, so dass daraus die Behauptung folgt.
Aber zur letzten Frage:
> > Frage: Wieso ist damit die Behauptung bewiesen?? Da steht
> > doch jetzt nur [mm]\bruch{(Ax,x)}{(x,x)} \le \lambda_k \forall[/mm]
>
> > x ??
> > Aber die behauptung war doch gerade, dass das für das
> > minimum gilt und nicht für alle x??
>
> wo steht denn, dass die behauptung für alle x gilt?? schau
> noch mal ein stück nach oben im beweis, für welche(s) x die
> aussage gilt...
Die Aussage gilt für diejenigen x , die so konstruiert wurden, das sie das LGS lösen, also diejenigen x [mm] \in Z_k [/mm] , die diese Darstellung haben:
0 [mm]\not=[/mm] x = [mm]\summe_{i=1}^{k} \gamma_i z_i \in Z_k[/mm]
der so konstruiertist ,dass der senkrecht auf den Eigenvektoren [mm]x_1[/mm] ,...,
[mm]x_{k-1}[/mm] steht.
Aber mir ist immernoch nicht ganz klar, wieso daraus die Behauptung folgen soll:
Dann gilt [mm]\forall[/mm] k=1,..,n :
[mm]min_{0 \not= x \in Z_k} \bruch{(Ax,x)}{(x,x)} \le \lambda_k[/mm]
[Anmerkung: [mm]Z_k[/mm] = span [ [mm]{z_1 ,..., z_k }][/mm]
Wenn man das x doch wie später da steht in die Eigenbasis von A umentwickelt,
steht da doch ein ganz allgemeines x???????
Und die Behauptung ist ja gerade, dass das für das Minimum gilt?
Viele Grüße.
Student
|
|
|
| |
|
Hi,
> Hallo,
> erstmal danke für die scnhelle Antwort . :)
>
> Voraussetzungen sind:
> A ist symmetrsiche Matrix.
Ok, also diagonalisierbar und es gibt eine ONB aus EVen.
> Orthonormierte EV heißt auf 1 normiert und paarweise
> orthogonal.
> Dieses Orthonormalsystem von EV bildet eine Basis im [mm]IK^n[/mm] .
>
> Der Sinn des orthonromalen System [mm]z_i[/mm] ? Weiß ich leider auf
> anhieb auch nicht, muss ich nochmal drüber nachdenken bis
> heute Abend. Sorry.
> Aber auf jeden Fall muss ein x konstruiert werden, so dass
> daraus die Behauptung folgt.
>
> Aber zur letzten Frage:
>
> > > Frage: Wieso ist damit die Behauptung bewiesen?? Da steht
> > > doch jetzt nur [mm]\bruch{(Ax,x)}{(x,x)} \le \lambda_k \forall[/mm]
>
> >
> > > x ??
> > > Aber die behauptung war doch gerade, dass das für
> das
> > > minimum gilt und nicht für alle x??
> >
> > wo steht denn, dass die behauptung für alle x gilt?? schau
> > noch mal ein stück nach oben im beweis, für welche(s) x die
> > aussage gilt...
>
> Die Aussage gilt für diejenigen x , die so konstruiert
> wurden, das sie das LGS lösen, also diejenigen x [mm]\in Z_k[/mm] ,
> die diese Darstellung haben:
>
> 0 [mm]\not=[/mm] x = [mm]\summe_{i=1}^{k} \gamma_i z_i \in Z_k[/mm]
> der so konstruiertist ,dass der senkrecht auf den
> Eigenvektoren [mm]x_1[/mm] ,...,
> [mm]x_{k-1}[/mm] steht.
>
> Aber mir ist immernoch nicht ganz klar, wieso daraus die
> Behauptung folgen soll:
>
> Dann gilt [mm]\forall[/mm] k=1,..,n :
> [mm]min_{0 \not= x \in Z_k} \bruch{(Ax,x)}{(x,x)} \le \lambda_k[/mm]
> [Anmerkung: [mm]Z_k[/mm] = span [ [mm]{z_1 ,..., z_k }][/mm]
>
> Wenn man das x doch wie später da steht in die Eigenbasis
> von A umentwickelt,
> steht da doch ein ganz allgemeines x???????
Nein, falsch. Es sind immer noch nur die speziellen $x$, die die obige eigenschaft haben. Umentwickeln in eine andere basis aendert daran nichts!
gruss
matthias
|
|
|
| |
|
Hi,
vielen Dank für die schnelle Antwort. :)
hast mir sehr weitergeholfen damit.
Viele grüße
student
|
|
|
|
