Maximum auf kompakter Menge? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wir haben das Thema "Funktionen mehrerer Veränderlicher". In diesem Zusammenhang wurden "Topologische Begriffe" behandelt. Danach ist eine kompakte Menge, eine Menge, die sowohl abgeschlossen also auch beschränkt ist, also z.B. 0<=M<=2. M enthalt dann alle seine Häufungspunkte, ist also abgeschlossen. Gleichzeitig ist kein M größer als 2, M ist also beschränkt. => M ist auch kompakt.
Nun soll auch folgender Satz gelten, den ich leider überhaupt nicht nachvollziehen kann:
- Eine stetige reellwertige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge ihr Maximum und ihr Minimum an.
Ich habe keinerlei Ahnung weshalb das gilt, ich fürchte ich habe da einiges nicht verstanden und wäre daher für etwas Hilfe sehr dankbar.
Viele Grüße,
brockerdocker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
Die Aussage: beschränkt und abgeschlossen => kompakt ist im allgemeinen falsch.
Diese Aussage gilt nur für Teilmengen des [mm] IR^n.
[/mm]
Allerdings gilt die Umkehrung in jedem topologischen Raum.
Also: Wenn (X,T) ein topologischer Raum ist und A eine Teilmenge von X.
Wenn nun A kompakt ist, dann ist A abgeschlossen und beschränkt.
Der Satz den du zitierst ist beinhaltet einen wichtigen Fakt bzgl. stetiger Funktionen auf kompakten Mengen.
Wenn du verstehen möchtest, wieso das so ist, solltest du den Beweis des Satzes studieren.
Grüße Elvis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:21 Do 24.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> Die Aussage: beschränkt und abgeschlossen => kompakt ist
> im allgemeinen falsch.
> Diese Aussage gilt nur für Teilmengen des [mm]IR^n.[/mm]
>
> Allerdings gilt die Umkehrung in jedem topologischen Raum.
Unsinn !!
> Also: Wenn (X,T) ein topologischer Raum ist und A eine
> Teilmenge von X.
> Wenn nun A kompakt ist, dann ist A abgeschlossen und
> beschränkt.
Was , bitteschön, bedeutet denn "beschränkt" in einem (allg.) topologischen Raum ????????
FRED
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> Der Satz den du zitierst ist beinhaltet einen wichtigen
> Fakt bzgl. stetiger Funktionen auf kompakten Mengen.
> Wenn du verstehen möchtest, wieso das so ist, solltest du
> den Beweis des Satzes studieren.
>
> Grüße Elvis
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Hallo,
erstmal danke für die schnellen Antworten! Wir haben dieses Thema nur sehr am Rande behandelt und ich kenne mich daher leider auch nicht wirklich damit aus. So steht der Satz von den Min/Max einer stetigen Funktion auf einer Kompakten Menge gar nicht im Skript und ich habe ihn nur im Netz gefunden, weil ich meine ihn für eine Aufgabe zu brauchen.
Ich habe mir nun das hier ![[]](/images/popup.gif) zum Inhalt durchgelesen und meine verstanden zu haben, dass es gar nicht um absolute Minima/ Maxima geht, oder?
Es ist nur gemeint, dass eine stetige Funktion auf einer Kompakten Menge einen Punkt hat, der höher/niedriger wie die anderen Punkte ist und wenn es auch der Randpunkt ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Do 24.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> erstmal danke für die schnellen Antworten! Wir haben
> dieses Thema nur sehr am Rande behandelt und ich kenne mich
> daher leider auch nicht wirklich damit aus. So steht der
> Satz von den Min/Max einer stetigen Funktion auf einer
> Kompakten Menge gar nicht im Skript und ich habe ihn nur im
> Netz gefunden, weil ich meine ihn für eine Aufgabe zu
> brauchen.
>
> Ich habe mir nun das hier
> zum Inhalt
> durchgelesen und meine verstanden zu haben, dass es gar
> nicht um absolute Minima/ Maxima geht, oder?
Natürlich geht es um absolute Minima/ Maxima !!
> Es ist nur gemeint, dass eine stetige Funktion auf einer
> Kompakten Menge einen Punkt hat, der höher/niedriger wie
> die anderen Punkte ist und wenn es auch der Randpunkt ist?
Ganz einfach: Sei K kompakt und f:K [mm] \to \IR [/mm] stetig. Dann existieren a, b [mm] \in [/mm] K mit:
$f(a) [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] f(b)$ für jedes x [mm] \in [/mm] K
FRED
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OK, dann weiß ich jetzt was Sache ist. Danke für die Hilfe!
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Hallo,
um den Satz gut zu verstehen kann man auch mal folgendes machen:
Lasse jeweils eine Voraussetzung weg, also z.B. K nicht mehr abgeschlossen und überlege dir dann Beispiele, sodass der Satz nicht mehr gilt.
Gruß Patrick
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