Maximumsprinzip / Tipp < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie
$sup [mm] \{|z^5 + 3iz^3| : |z| \leq 1 \}$.
[/mm]
Wird dieser Wert angenommen? Wenn ja, für welche $z| [mm] \leq [/mm] 1 $? |
Meine Idee:
Da [mm] $z^5 [/mm] + [mm] 3iz^3$ [/mm] eine ganze Funktion ist, nimmt sie nach dem Maximumsprinz ihr Maximum auf dem Rad der Funktion an.
Wähle [mm] $z_0 [/mm] = [mm] e^{i\varphi}$
[/mm]
$ [mm] |f(z_0)| [/mm] = | [mm] e^{5i\varphi} [/mm] + 3i [mm] e^{3i\varphi}| [/mm] = | [mm] e^{2i\varphi} [/mm] + 3i| = [mm] |cos(2\varphi) [/mm] + i [mm] sin(2\varphi) [/mm] + 3i| [mm] =\sqrt{ 6 sin(2\varphi) + 9 } \leq \sqrt{15}$
[/mm]
Hat ihr Maximum, wenn [mm] $\varphi [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}$ [/mm] ist. Nun ist mein Lösungsweg korrekt? und wie könnte ich allenfalls sehen, dass das Maximum nicht auf dem Rand angenommen wird? (Wenn Bedingungen nicht erfüllt sind für Maximumusprinzip?)
Und damit ich keinen Neuen Post machen muss:
Ich weiss nicht wie ich Aufgaben vom folgenden Typ lösen kann:
Gibt es auf der Einheitsscheibe holomorphe Funktion f mit:
[mm] $f(\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] \bruch{n}{1+n^2} \quad \forall [/mm] n [mm] \in \IN$
[/mm]
Danke für eure Antworten, SA
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 So 09.09.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie
>
> [mm]sup \{|z^5 + 3iz^3| : |z| \leq 1 \}[/mm].
>
> Wird dieser Wert angenommen? Wenn ja, für welche [mm]|z| \leq 1 [/mm]?
>
> Meine Idee:
>
> Da [mm]z^5 + 3iz^3[/mm] eine ganze Funktion ist, nimmt sie nach dem
> Maximumsprinz ihr Maximum auf dem Rad der Funktion an.
>
> Wähle [mm]z_0 = e^{i\varphi}[/mm]
>
> [mm]|f(z_0)| = | e^{5i\varphi} + 3i e^{3i\varphi}| = | e^{2i\varphi} + 3i| = |cos(2\varphi) + i sin(2\varphi) + 3i| =\sqrt{ 6 sin(2\varphi) + 9 } \leq \sqrt{15}[/mm]
Fast:
[mm] = \sqrt{ 6 sin(2\varphi) + \red{10} } \leq \red{4}[/mm]
> Hat ihr Maximum, wenn [mm]\varphi = \frac{\pi}{2}[/mm] ist.
Das ist nur eines der beiden Maxima, das andere liegt bei [mm]\varphi = \frac{5\pi}{2}[/mm].
> Nun ist
> mein Lösungsweg korrekt? und wie könnte ich allenfalls
> sehen, dass das Maximum nicht auf dem Rand angenommen wird?
> (Wenn Bedingungen nicht erfüllt sind für
> Maximumusprinzip?)
Dann bleibt dir nichts anderes übrig, als die bekannten Methoden zur Bestimmung eines Maximums anzuwenden, also z.B. die Funktion als Funktion von x und y aufzufassen und den Gradienten nullzusetzen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 So 09.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo RainerS,
>
> Fast:
>
> [mm]= \sqrt{ 6 sin(2\varphi) + \red{10} } \leq \red{4}[/mm]
>
> > Hat ihr Maximum, wenn [mm]\varphi = \frac{\pi}{2}[/mm] ist.
>
Wirklich? Ich denke das Maximum wird für [mm] $\varphi=\pi/4$ [/mm] angenommen.
Es ist nämlich [mm] $\bigl|e^{i2\varphi} [/mm] + [mm] 3i\bigr|\le \bigl|e^{i2\varphi}\bigr|+|3i|=4$ [/mm] und das Maximum wird genau dann angenommen, wenn [mm] $e^{i2\varphi} [/mm] = i$ ist, also [mm] $2\varphi [/mm] = [mm] \pi/2\pmod {2\pi}$. [/mm] Dies ist für [mm] $\varphi=\pi/4$ [/mm] und [mm] $\varphi=\pi/4 +\pi=5\pi/4$ [/mm] der Fall.
> Das ist nur eines der beiden Maxima, das andere liegt bei
> [mm]\varphi = \frac{5\pi}{2}[/mm].
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 So 09.09.2012 | | Autor: | rainerS |
Hi Wolfgang!
> Hallo RainerS,
>
> >
> > Fast:
> >
> > [mm]= \sqrt{ 6 sin(2\varphi) + \red{10} } \leq \red{4}[/mm]
> >
> > > Hat ihr Maximum, wenn [mm]\varphi = \frac{\pi}{2}[/mm] ist.
> >
>
> Wirklich? Ich denke das Maximum wird für [mm]\varphi=\pi/4[/mm]
> angenommen.
>
> Es ist nämlich [mm]\bigl|e^{i2\varphi} + 3i\bigr|\le \bigl|e^{i2\varphi}\bigr|+|3i|=4[/mm]
> und das Maximum wird genau dann angenommen, wenn
> [mm]e^{i2\varphi} = i[/mm] ist, also [mm]2\varphi = \pi/2\pmod {2\pi}[/mm].
> Dies ist für [mm]\varphi=\pi/4[/mm] und [mm]\varphi=\pi/4 +\pi=5\pi/4[/mm]
> der Fall.
>
> > Das ist nur eines der beiden Maxima, das andere liegt bei
> > [mm]\varphi = \frac{5\pi}{2}[/mm].
Hast natürlich recht, [mm] $\pi/2$ [/mm] und [mm] $5\pi/2$ [/mm] ergeben ja auch dieselbe komplexe Zahl $z$.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 So 09.09.2012 | | Autor: | fred97 |
>
> Ich weiss nicht wie ich Aufgaben vom folgenden Typ lösen
> kann:
>
> Gibt es auf der Einheitsscheibe holomorphe Funktion f mit:
>
> [mm]f(\bruch{1}{n}) = \bruch{n}{1+n^2} \quad \forall n \in \IN[/mm]
>
>
Berechne mal [mm] \bruch{z}{z^2+1} [/mm] für z=1/n (n [mm] \in \IN)
[/mm]
FRED
> Danke für eure Antworten, SA
|
|
|
|
