Maxwell Gleichung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Mo 02.10.2006 | | Autor: | Phecda |
hi
wie kann man mithilfe der Maxwellgleichungen folgern, dass beim Licht der Schwingungsrichtung immer im rechten Winkel zur Fortbewegungn des Lichtes steht bzw. allg. dass elektromag. Wellen Transversalwellen sind?
kann jemand das mathematisch erklären?
danke
mfg Phecda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Mo 02.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Phecda
In welcher Form kennst du die maxwellgl.? Wie gut kannst du mit vektorwertigen Funktionen umgehen? davon hängt die Antwort ab.
Anchaulich ist dir wohl klar, dass eine Antenne nicht in ihrer Längsrichtung senden kann, und dass das magn. feld immer senkrecht zum el. feld steht!
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Mo 02.10.2006 | | Autor: | Phecda |
hi .. also versteh schon so grob, was die einzelnen Gesetzte aussagen ... aber hab jetzt nicht 100% die gesetze druchdacht... wäre schön, wenn jmd eine ("einfache", wenn sowas geht) herleitung kennt, ob ich die dann versteh ist natürlich was anderes ;) danke
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Nun, dann gehen wir es mal an.
Die beiden Maxwellgleichungen, die hier wichtig sind, sind die mit dem Kreuzprodukt (die anderen beiden sagen nur etwas über statische Felder)
Zur Vereinfachung lasse ich mal alle Konstanten weg.
[mm] $\nabla \times \vec E=-\bruch{d}{dt} \vec [/mm] B$
[mm] $\nabla \times \vec B=\vec j+\bruch{d}{dt} \vec [/mm] E$
Nun hoffe ich, du weißt, was Rotation ist? Sie gibt dir an, wie stark das Feld sozusagen rotiert. Heraus kommt ein Vektor, der senkrecht auf dieser Rotation - oder generell Feldänderung - steht.
Schaun wir uns mal folgenden Teil an:
[mm] $\nabla \times \vec B=\vec [/mm] j$
DAs gilt ja schon im statischen Fall und beschreibt genau das, was man schon aus der Schule recht gut kennt: Das B-Feld um einen stromdurchflossenen Leiter ist kreisförmig. Das [mm] $\nabla \times \vec [/mm] B$ macht aus diesem rotierenden B-Feld einen Vektor senkrecht dazu - und das ist der Strom j, der das Feld erzeugt!
jetzt schauen wir uns eine Welle an - also einen Raum, frei von Stömen.
[mm] $\nabla \times \vec E=-\bruch{d}{dt} \vec [/mm] B$
[mm] $\nabla \times \vec B=\bruch{d}{dt} \vec [/mm] E$
bedenke: die zeitlichen Ableitungen geben dir an, in welche Richtung sich deine Wellen zeitlich ändern, also fortbewegen! Das ist die Ausbreitungsrichtung!!!
Mit der gleichen Argumentation wie oben kann man auch folgern, daß das nicht statische E-Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des B-Feldes steht, und umgekehrt. Geht man nun davon aus, daß sich beide Felder in die gleiche Richtung ausbreiten, so kommt heraus, daß die beiden Felder senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung stehen!
Probieren wir es mal mathematisch.
Gehen wir davon aus, daß wir schon wissen, daß das Sinus-wellen sind. Für z.B. das b-Feld läßt sich nun schreiben:
[mm] $\vec B(\vec x,t)=\vec B_0\sin(\vec k_B \vec [/mm] x [mm] -\omega_B [/mm] t)$
oder auch
[mm] \vec{B}\vec{(}x,t)=\left(
\begin{array}{c}
B_{0x} \\
B_{0y} \\
B_{0z}%
\end{array}%
\right) \cdot \sin \left( \left(
\begin{array}{c}
k_{x}\cdot x \\
k_{y}\cdot y \\
k_{z}\cdot z%
\end{array}%
\right) -\omega t\right) [/mm]
oder
[mm]\vec{B}(\vec{x},t)=\left(
\begin{array}{c}
B_{0x} \\
B_{0y} \\
B_{0z}%
\end{array}%
\right) \cdot \sin \left( k_{x}\cdot x+k_{y}\cdot y+k_{z}\cdot z-\omega
t\right) [/mm]
Bedenke, daß [mm] \vec B_0 [/mm] die Amplitude der Welle ist, und [mm] \vec k_B [/mm] die Ausbreitungsrichtung.
Einsetzen:
[mm]\nabla \times \vec{B}(\vec{x},t)=\left(
\begin{array}{c}
B_{0z}\cdot k_{y}-B_{0y}\cdot k_{z} \\
B_{0x}\cdot k_{z}-B_{0x}\cdot k_{z} \\
B_{0y}\cdot k_{x}-B_{0x}\cdot k_{y}%
\end{array}%
\right) \cos \left( k_{x}\cdot x+k_{y}\cdot y+k_{z}\cdot z-\omega t\right) =%
\frac{d}{dt}\vec{E}(\vec{x},t)[/mm]
Wenn das also die zeitliche Ableitung des E-Feldes ist, ist das E-Feld also
[mm]\vec{E}(\vec{x},t)=-\frac{1}{\omega }\left(
\begin{array}{c}
B_{0z}\cdot k_{y}-B_{0y}\cdot k_{z} \\
B_{0x}\cdot k_{z}-B_{0x}\cdot k_{z} \\
B_{0y}\cdot k_{x}-B_{0x}\cdot k_{y}%
\end{array}%
\right) \sin \left( k_{x}\cdot x+k_{y}\cdot y+k_{z}\cdot z-\omega t\right) [/mm]
Das zeigt auf jeden Fall schonmal, daß die Ausbreitungsrichtung des E-Feldes die gleiche ist, wie die des B-Feldes (das sieht man ja an den k's, die im SIN stehen)
Multiplizieren wir doch mal die Amplitude des E-Feldes mit der Ausbreitungsrichtung:
[mm]
\left(
\begin{array}{c}
B_{0z}\cdot k_{y}-B_{0y}\cdot k_{z} \\
B_{0x}\cdot k_{z}-B_{0z}\cdot k_{z} \\
B_{0y}\cdot k_{x}-B_{0x}\cdot k_{y}%
\end{array}%
\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
k_{x} \\
k_{y} \\
k_{z}%
\end{array}%
\right) =B_{0z}\cdot k_{x}k_{y}-B_{0y}\cdot k_{x}k_{z}+B_{0x}\cdot
k_{y}k_{z}-B_{0z}\cdot k_{y}k_{z}+B_{0y}\cdot k_{x}k_{z}-B_{0x}\cdot
k_{y}k_{z}=0[/mm]
Aha! Die Ausbreitungsrichtung des E-Feldes steht also senkrecht auf der Amplitude!
Und das B-Feld?
Nun, dazu multipliziert man die Amplituden von E- und B-Feld, das ist im Prinzip das gleiche wie bei der letzten Gleichung, auch da kommt 0 raus.
Jetzt wissen wir, daß das E-Feld senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht und daß auch E- und B-Feld senkrecht stehen.
Jetzt müßte man noch zeigen, daß auch das B-Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht, und nicht parallel.
Das geht mit diesen Formeln nicht wirklich. Vielmehr kann man das ganze ja auch für das E-Feld und die andere Maxwell-Gleichung machen. Die sieht aber fast genauso aus, und liefert eben auch fast das gleiche, insbesondere aber, daß auch das B-Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht.
Und das ist alles: Alle drei vektoren stehen senkrecht aufeinander!
So, das war wohl einer meiner längsten Beiträge... Wollte mal schauen, ob ich das selbst auch noch hinbekomme...
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Hmh, da hab ich mal zu lange gewartet mit dem Absenden einer Antwort, und dann bleibt die Frage als unbeantwortet markiert?
Hiermit sollte sich das erledigt haben...
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