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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Sa 22.10.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Seine [mm] x_1 , x_2 , ..., x_n \in \IR[/mm], [mm] n \in \IN [/mm] mit [mm]x_1 \le x_2 \le ...\le x_n [/mm] gegeben. [mm] \tilde x_{0,5} [/mm] sei der Median von [mm] x_1 , x_2 , ..., x_n [/mm]
Zeigen Sie für [mm] n=3 [/mm]
[mm]\summe_{i=1}^{n} |x_i - \tilde x_{0,5}|[/mm] = min [mm]\{ \summe_{i=1}^{n} |x_i -c|, c \in \IR \}[/mm] |
folgendes:
mir ist die Behauptung anschaulich völlig klar. Ich hab mir das auf einem Zahlenstrahl klar gemacht.
Für [mm]c=\tilde x_{0,5} [/mm] ist die Summe der Abstand zwischen [mm] x_1[/mm] und [mm]x_3 [/mm].
Wähle ich ein anderes c zwischen zwischen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] kommt zu dem Abstand zwischen [mm] x_1[/mm] und [mm] x_3 [/mm] der Abstand zwischen c und [mm] x_2[/mm] dazu.
Liegt c jeneits von [mm]x_1[/mm] oder [mm]x_3[/mm] wir die Distanz noch größer.
Frage: wie beweise ich das?
Darf man bei dem Beweis "o.B.d.A [mm] x_i > 0[/mm]" annehmen?? Das würde mir das rechnen mit den Beträgen erleichtern.
Und dann muss man ja offensichtlich eine Fallunterscheidung machen, nur welche Fälle betrachte ich am besten? [mm]c=\tilde x_{0,5} [/mm], [mm]c<\tilde x_{0,5} [/mm] und [mm]c>\tilde x_{0,5} [/mm] reicht das? oder müss ich die Fälle noch mehr differenzieren?
danke für einen Tipp!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 So 23.10.2011 | | Autor: | luis52 |
> Darf man bei dem Beweis "o.B.d.A [mm]x_i > 0[/mm]" annehmen?? Das
> würde mir das rechnen mit den Beträgen erleichtern.
Ja, denn [mm] $\text{Median}(x_1,x_2,x_3)=\text{Median}(x_1+\alpha,x_2+\alpha,x_3+\alpha)-\alpha$.
[/mm]
> Und dann muss man ja offensichtlich eine
> Fallunterscheidung machen, nur welche Fälle betrachte ich
> am besten? [mm]c=\tilde x_{0,5} [/mm], [mm]c<\tilde x_{0,5}[/mm] und [mm]c>\tilde x_{0,5}[/mm]
> reicht das? oder müss ich die Fälle noch mehr
> differenzieren?
Noch weniger. Zeige, dass [mm] $\sum |x_i-c|$ [/mm] fuer [mm] $c\le \tilde x_{0.5}$ [/mm] monoton faellt und sonst steigt.
Uebrigens fuer den allgemeinen Fall schau :
hier
oder hier.
vg Luis
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