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| Aufgabe | Keine Panik ich habe eine Frage zur Aufgabe b)
Eine Fabrik bestehe aus n Produktionsabteilungen, die n verschiedene Produkte [mm] P_1; [/mm] : : : ; [mm] P_n [/mm] herstellen.
Diese werden zum Teil in der Produktion selbst wieder verbraucht, der Rest steht zum Verkauf zur Verfügung (Output). Zur Herstellung der Produkte werden m Rohstoffe [mm] R_1; [/mm] : : : [mm] ;R_m [/mm] eingesetzt (Input).
In der Produktverteilungsmatrix P [mm] \in R^{nxn} [/mm] bedeutet der Eintrag p_ij die Mengeneinheiten des
Produkts [mm] P_i, [/mm] die zur Herstellung einer Einheit [mm] P_j [/mm] verbraucht werden. Beispielsweise bedeuten
die Einträge p_i1 der ersten Spalte, wie viele der jeweiligen Produkte [mm] P_1; [/mm] : : : ; [mm] P_n [/mm] benötigt werden,
um eine Mengeneinheit P1 herzustellen.
In der Rohstoffverteilungsmatrix R [mm] \in R^{mxn} [/mm] steht der Eintrag r_ij für die Mengeneinheiten des Rohstoffs [mm] R_i, [/mm] die zur Produktion einer Einheit [mm] P_j [/mm] benötigt werden. Die Mengen [mm] g_i, [/mm] die an Pi produziert werden, sind im Gesamtproduktionsvektor g [mm] \in [/mm] Rn zusammengefasst,
die Mengen [mm] v_i [/mm] an verkauften Pi im Verkaufsvektor v [mm] \in R_n [/mm] und die Mengen [mm] r_i [/mm] der benötigten Rohstoffe [mm] R_i [/mm] im Rohstoffvektor r [mm] \in R_m.
[/mm]
a) Leiten Sie – inkl. Begründung – die Beziehungen
g = Pg + v und r = Rg
her, die Gesamtproduktion g und Verkauf v sowie Rohstoffverbrauch r und Gesamtproduktion g in Beziehung setzen.
Welche Bedingung muss P erfüllen, damit jeder vorgebene Output v befriedigt werden kann, sofern man annimmt, dass der Input r beliebig groß sein kann? Welche Bedingung muss R erfüllen, wenn man umgekehrt die Rohstoffmengen ri vorgeben möchte?
b) Betrachten Sie ein Unternehmen mit drei Produkten, die aus drei Rohstoffen hergestellt werden, wobei Produkt- und Rohstoffverteilung durch
P= [mm] \pmat{ 0,5 & 0 & 0,1 \\ 0& 0,8 & 0,2 \\ 0,1 & 0 & 0,8 }
[/mm]
R= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0,3 \\ 0,3 & 0,2 & 1 \\ 1,2 & 1 & 0,2 }
[/mm]
i) Welche Nachfrage v kann befriedigt werden, wenn die Gesamtproduktion (bei voller
Auslastung) durch g = (40; 100; [mm] 50)^T [/mm] gegeben ist? Welcher Rohstoffverbrauch r fällt dabei an?
ii) Durch Marktforschung wurde der Verkaufsvektor v = (30; 18; [mm] 12)^T [/mm] ermittelt. Welche
Gesamtproduktion g ist nötig, um diese Nachfrage zu befriedigen? Welcher Rohstoffverbrauch r fällt hier an?
Hinweis: Die Berechnung einer Inversen ist hier nicht nötig.
iii) Nun sei der Input r = (198; 99; [mm] 198)^T [/mm] vorgegeben. Welche Gesamtproduktion g und welcher Output v lassen sich damit erzielen? |
Kann ich für aufgabe bi) die gegebene Beziehung benutzen?
g = Pg + v
v= g-Pg
v= [mm] \vektor{40 \\ 100 \\ 50}- \pmat{ 0,5 & 0 & 0,1 \\ 0& 0,8 & 0,2 \\ 0,1 & 0 & 0,8 }*\vektor{40 \\ 100 \\ 50}
[/mm]
löst man so die Aufgabe?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Di 17.12.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Keine Panik ich habe eine Frage zur Aufgabe b)
>
>
> Eine Fabrik bestehe aus n Produktionsabteilungen, die n
> verschiedene Produkte [mm]P_1;[/mm] : : : ; [mm]P_n[/mm] herstellen.
> Diese werden zum Teil in der Produktion selbst wieder
> verbraucht, der Rest steht zum Verkauf zur Verfügung
> (Output). Zur Herstellung der Produkte werden m Rohstoffe
> [mm]R_1;[/mm] : : : [mm];R_m[/mm] eingesetzt (Input).
> In der Produktverteilungsmatrix P [mm]\in R^{nxn}[/mm] bedeutet
> der Eintrag p_ij die Mengeneinheiten des
> Produkts [mm]P_i,[/mm] die zur Herstellung einer Einheit [mm]P_j[/mm]
> verbraucht werden. Beispielsweise bedeuten
> die Einträge p_i1 der ersten Spalte, wie viele der
> jeweiligen Produkte [mm]P_1;[/mm] : : : ; [mm]P_n[/mm] benötigt werden,
> um eine Mengeneinheit P1 herzustellen.
> In der Rohstoffverteilungsmatrix R [mm]\in R^{mxn}[/mm] steht der
> Eintrag r_ij für die Mengeneinheiten des Rohstoffs [mm]R_i,[/mm]
> die zur Produktion einer Einheit [mm]P_j[/mm] benötigt werden. Die
> Mengen [mm]g_i,[/mm] die an Pi produziert werden, sind im
> Gesamtproduktionsvektor g [mm]\in[/mm] Rn zusammengefasst,
> die Mengen [mm]v_i[/mm] an verkauften Pi im Verkaufsvektor v [mm]\in R_n[/mm]
> und die Mengen [mm]r_i[/mm] der benötigten Rohstoffe [mm]R_i[/mm] im
> Rohstoffvektor r [mm]\in R_m.[/mm]
>
> a) Leiten Sie – inkl. Begründung – die Beziehungen
>
> g = Pg + v und r = Rg
>
> her, die Gesamtproduktion g und Verkauf v sowie
> Rohstoffverbrauch r und Gesamtproduktion g in Beziehung
> setzen.
> Welche Bedingung muss P erfüllen, damit jeder vorgebene
> Output v befriedigt werden kann, sofern man annimmt, dass
> der Input r beliebig groß sein kann? Welche Bedingung muss
> R erfüllen, wenn man umgekehrt die Rohstoffmengen ri
> vorgeben möchte?
>
> b) Betrachten Sie ein Unternehmen mit drei Produkten, die
> aus drei Rohstoffen hergestellt werden, wobei Produkt- und
> Rohstoffverteilung durch
>
> P= [mm]\pmat{ 0,5 & 0 & 0,1 \\ 0& 0,8 & 0,2 \\ 0,1 & 0 & 0,8 }[/mm]
>
> R= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0,3 \\ 0,3 & 0,2 & 1 \\ 1,2 & 1 & 0,2 }[/mm]
>
>
> i) Welche Nachfrage v kann befriedigt werden, wenn die
> Gesamtproduktion (bei voller
> Auslastung) durch g = (40; 100; [mm]50)^T[/mm] gegeben ist? Welcher
> Rohstoffverbrauch r fällt dabei an?
>
> ii) Durch Marktforschung wurde der Verkaufsvektor v = (30;
> 18; [mm]12)^T[/mm] ermittelt. Welche
> Gesamtproduktion g ist nötig, um diese Nachfrage zu
> befriedigen? Welcher Rohstoffverbrauch r fällt hier an?
> Hinweis: Die Berechnung einer Inversen ist hier nicht
> nötig.
>
> iii) Nun sei der Input r = (198; 99; [mm]198)^T[/mm] vorgegeben.
> Welche Gesamtproduktion g und welcher Output v lassen sich
> damit erzielen?
>
> Kann ich für aufgabe bi) die gegebene Beziehung benutzen?
>
> g = Pg + v
>
> v= g-Pg
>
> v= [mm]\vektor{40 \\ 100 \\ 50}- \pmat{ 0,5 & 0 & 0,1 \\ 0& 0,8 & 0,2 \\ 0,1 & 0 & 0,8 }*\vektor{40 \\ 100 \\ 50}[/mm]
>
>
> löst man so die Aufgabe?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja.
Gruß
meili
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ok danke. habe es bi gelöst
bei bii) ist v und P sind gegeben und ich soll g bestimmen mit der gleichung
g = Pg + v
kann ich das so machen?
g-Pg=v
g(1-P)=v
g= [mm] \bruch{v}{(1-P)}
[/mm]
so kann ich das nicht machen oder? weil man mit eine matrix nicht teilen kann soweit ich weiß. wie löst man hier die aufgabe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Di 17.12.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> ok danke. habe es bi gelöst
>
> bei bii) ist v und P sind gegeben und ich soll g bestimmen
> mit der gleichung
>
> g = Pg + v
>
> kann ich das so machen?
>
> g-Pg=v
>
> g(1-P)=v
Besser (E-P)*g = v schreiben mit E Einheitsmatrix. (Matrixmultiplikation
(auch mit Vektor) ist nicht kommutativ)
Hier E $= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}$
[/mm]
Jetzt entweder das lineare Gleichungssystem (E-P)*g = v für g lösen
(v gegeben, E-P lässt sich leicht berechnen)
oder die inverse Matrix [mm] $(E-P)^{-1}$ [/mm] zu E-P bestimmen.
Es ist dann $g = [mm] (E-P)^{-1}*v$.
[/mm]
>
> g= [mm]\bruch{v}{(1-P)}[/mm]
>
> so kann ich das nicht machen oder? weil man mit eine matrix
> nicht teilen kann soweit ich weiß. wie löst man hier die
> aufgabe?
Gruß
meili
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danke, aber noch eine frage zum verständnis:
> Besser (E-P)*g = v schreiben mit E Einheitsmatrix.
> (Matrixmultiplikation
> (auch mit Vektor) ist nicht kommutativ)
wie kommst du auf die einheitsmatrix?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Di 17.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
$P$ ist eine Matrix - genauer eine [mm] 3\times3 [/mm] Matrix - und $1-P$ ist schlecht.
Also benötigst du [mm] §E=E_3=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, [/mm] sodass du ausrechnen kannst:
[mm] \Rightarrow E-P=E_3-P=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }-P=\ldots
[/mm]
DieAcht
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