Mehrdimensionaler Limes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Fr 28.11.2008 | | Autor: | andi1983 |
| Aufgabe | | Für die Funktion [mm] f(x,y)=3*x^{2}+y [/mm] bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und den entsprechenden Bildbereich. Zeigen Sie mit der Definition eines Limes, [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\((1,2)}f(x,y)=5. [/mm] |
Hallo!
Also für den Definitionsbereich sowie den Bildbereich würde ich den gesamten [mm] \IR^{+} [/mm] wählen also den gesamten ersten und zweiten Quadranten?
Hab mal lt. Definition des Limes folgende Gleichungen aufgestellt:
(1) [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\((1,2)}(3*x^{2}+y)=5
[/mm]
(2) [mm] |3*x^{2}+y -5|<\varepsilon
[/mm]
(3) [mm] 0<\wurzel{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}]}<\delta
[/mm]
Im eindimensionalen Fall hab ich es immer so gemacht das versucht habe Gleichung 2 so umzuformen das ich auf das [mm] \delta [/mm] in 3 gekommen bin.
Aber im [mm] \IR^{2} [/mm] bzw. [mm] \IR^{n} [/mm] scheint das nicht mehr so einfach zu sein.
Was muss ich weiters machen bzw. sind die Gleichungen überhaupt korrekt?
Vielen dank schon mal.
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> Für die Funktion [mm]f(x,y)=3*x^{2}+y[/mm] bestimmen Sie den
> maximalen Definitionsbereich und den entsprechenden
> Bildbereich. Zeigen Sie mit der Definition eines Limes,
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\((1,2)}f(x,y)=5.[/mm]
> Hallo!
>
> Also für den Definitionsbereich sowie den Bildbereich würde
> ich den gesamten [mm]\IR^{+}[/mm] wählen also den gesamten ersten
> und zweiten Quadranten?
Definiert ist diese Funktion auf ganz [mm] \IR^2 [/mm]
(was führt dich dazu, z.B. (x,y)=(0,-1) auszuschliessen ?)
Um den Bildbereich zu bestimmen, überlege dir
z.B. welche Werte [mm] f(x_0,y) [/mm] für ein festgehaltenes [mm] x_0
[/mm]
durchläuft, wenn [mm] y\in\IR [/mm] .
> Hab mal lt. Definition des Limes folgende (Un-)Gleichungen
> aufgestellt:
>
> (1) [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\((1,2)}(3*x^{2}+y)=5[/mm]
> (2) [mm]|3*x^{2}+y -5|<\varepsilon[/mm]
> (3) [mm]0<\wurzel{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}<\delta[/mm]
>
> Im eindimensionalen Fall hab ich es immer so gemacht das
> versucht habe Gleichung 2 so umzuformen das ich auf das
> [mm]\delta[/mm] in 3 gekommen bin.
> Aber im [mm]\IR^{2}[/mm] bzw. [mm]\IR^{n}[/mm] scheint das nicht mehr so
> einfach zu sein.
>
> Was muss ich weiters machen bzw. sind die Gleichungen
> überhaupt korrekt?
Um den Grenzwertnachweis zu erbringen, musst
du zeigen: Für jedes noch so kleine positive [mm] \varepsilon
[/mm]
gibt es ein positives [mm] \delta [/mm] , so dass für alle [mm] (x,y)\in\IR^2
[/mm]
mit (3) auch die Ungleichung (2) erfüllt ist.
Dazu nur ein möglicher Tipp:
Setze x=1+u und y=2+v
Wenn (3) erfüllt ist, gelten sicher auch die Ungleichungen
$\ [mm] |u|<\delta$ [/mm] und $\ [mm] |v|<\delta$
[/mm]
Nun kannst du die Ungleichung (2) mittels der
neuen Variablen u und v aufschreiben und dann
versuchen, [mm] \delta [/mm] so festzulegen, dass der Betragsterm
in (2) sicher kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] wird.
Gruß al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Fr 28.11.2008 | | Autor: | andi1983 |
Wie kommst du auf diesen Ansatz und vor allem warum?
Setze x=1+u und y=2+v
$ \ [mm] |u|<\delta [/mm] $ und $ \ [mm] |v|<\delta [/mm] $
Grafisch kann ich es mir echt gut vorstellen aber sobald da diese Ungleichungen stehen check ich garnix mehr. Ich merke das ich
dermaßen große Lücken in meiner Mathe Ausbildung habe das ich
schreien könnte.
Vielleicht kann mir ja jemand noch einen stärkeren Ruck geben.
Also für x und y die oben angeführen Ausdrücke in 2 einsetzen und dann steht da für mich immer noch Bahnhof - ich durchschaue die Verbindung von 2 und 3 nicht. Sprachlich würde ich es so ausdrücken:
Für alle $ [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] $ die in der Scheibe mir Radius [mm] \delta [/mm] liegen gibt es eine [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung um L sodass der [mm] |f(x,y)-L|<\varepsilon [/mm] ist.
Im $ [mm] (x,y)\in\IR^3 [/mm] $ müsste diese Umgebung auf der z-Achse liegen oder?
Man oh man - das wird eine schwere Geburt...
Danke.
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Hallo Andreas,
> Wie kommst du auf diesen Ansatz und vor allem warum?
Nun, wir sollen ja [mm] x\to{1} [/mm] und [mm] y\to{2} [/mm] streben lassen,
also ist es sicher mal eine gute Idee, $\ x=1+u$ zu
setzen mit einem $\ u$ , dass dann gegen null gehen soll;
analog für $\ y$ .
Die [mm] $\delta$ [/mm] -Umgebung $\ [mm] U_{\delta}$ [/mm] des Punktes (1,2) ist ein
Kreisscheibchen mit Radius [mm] \delta [/mm] . Dann denk ich mir ein
um das Scheibchen herum gelegtes Quadrat [mm] Q_{\delta} [/mm] der
Seitenlänge [mm] 2*\delta [/mm] . Jeder Punkt in [mm] U_{\delta} [/mm] liegt auch
in [mm] Q_{\delta} [/mm] . Also:
$\ [mm] (x,y)\in U_{\delta}\quad\Longrightarrow\quad |u|<\delta\ \wedge\ |v|<\delta$ [/mm]
Damit müssen wir uns nicht mehr mit der Wurzel
in (3) herumschlagen !
> Setze x=1+u und y=2+v
> [mm]\ |u|<\delta[/mm] und [mm]\ |v|<\delta[/mm]
>
> Also für x und y die oben angeführen Ausdrücke in 2
> einsetzen
Das sieht dann so aus:
$ [mm] |3*x^2+y -5|<\varepsilon [/mm] $
$ [mm] |3*(1+u)^2+(2+v) -5|<\varepsilon [/mm] $
$ [mm] |3*(u^2+2u+1)+(2+v) -5|<\varepsilon [/mm] $
$ [mm] |3*u^2+6u+3+2+v -5|<\varepsilon [/mm] $
$ [mm] |3*u^2+6u+v|<\varepsilon [/mm] $
> Sprachlich würde ich es so ausdrücken:
> Für alle [mm](x,y)\in\IR^2[/mm] die in der Scheibe mit Radius
> [mm]\delta[/mm] liegen gibt es eine [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung um L
> sodass der [mm]|f(x,y)-L|<\varepsilon[/mm] ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Vorgegeben ist ja das [mm] \varepsilon. [/mm] Ein passendes [mm] \delta [/mm] , für
welches diese Eigenschaft erfüllt ist, müssen
wir nun "konstruieren".
> Im [mm](x,y)\in\IR^3[/mm] müsste diese Umgebung auf der z-Achse
> liegen oder ?
wenn du dir den Graph von f als Fläche im [mm] \IR^3 [/mm]
vorstellen willst, ja
So, nun bleibt der letzte Teil:
wir haben also u und v mit
[mm]\ |u|<\delta[/mm] und [mm]\ |v|<\delta[/mm]
Frage: Wie klein müssen wir [mm] \delta [/mm] wählen, damit mit Sicherheit
$\ [mm] |3*u^2+6u+v|<\varepsilon [/mm] $ wird ?
Da u klein ist, wenn x nahe bei 1 liegt, dürfen wir
annehmen, dass $\ [mm] |3*u^2|\ [/mm] <\ |u|$ (***) ist. Das ist jedenfalls
erfüllt, wenn $\ 3*|u|\ <\ 1 $ bzw. $\ |u|\ <\ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] $ ist.
Damit erhalten wir die Abschätzung:
$\ [mm] |3*u^2+6u+v|\ \le\ \underbrace{|3*u^2|}_{<|u|}+|6u|+|v|\ [/mm] <\ [mm] 7\underbrace{|u|}_{<\delta}+\underbrace{|v|}_{<\delta}\ [/mm] <\ [mm] 8*\delta$
[/mm]
Wenn wir also [mm] \delta=min\{\bruch{1}{3}\ ,\ \bruch{\varepsilon}{8}\} [/mm] setzen,
so ist die Bedingung (***) erfüllt, und es wird
für alle $\ [mm] (x,y)\in U_{\delta}\left((1,2)\right)$: [/mm]
$\ [mm] \left|3*u^2+6u+v\right|\ [/mm] <\ [mm] 8*\delta\ \le\ \varepsilon$
[/mm]
und somit
$\ [mm] \left|f(x,y)-f(1,2)\right|\ [/mm] <\ [mm] \varepsilon$ [/mm] Q.E.D.
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