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Guten Abend Matheraum...
Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Aufgabe, bzw. reicht es mir zu erfahren, ob ich an diese Aufgabe richtig rangehe.
Gegeben ist zunächst einmal folgende Aufgabenstellung:
Es sei [mm] \varphi:\IR^3 \to \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Lösung der Laplaceschen DGL [mm] \Delta\varphi=0 [/mm] und [mm] \vec{v}=\nabla \varphi. [/mm] Es sind [mm] div\vec{v} [/mm] und [mm] rot\vec{v} [/mm] zu berechnen.
Zunächst schreibe ich für [mm] \varphi:\IR^3 \to \IR [/mm] folgendes auf: [mm] \varphi=(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3)
[/mm]
Die Schreibweise [mm] \vec{v}=\nabla \varphi [/mm] steht ja für nichts anderes als [mm] \vec{v}=grad \varphi.
[/mm]
Also schreibe ich weiterhin: [mm] \vec{v}=\nabla \varphi=grad \varphi=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\varphi_1 \\ \bruch{\partial}{\partial y}\varphi_2 \\ \bruch{\partial}{\partial z}\varphi_3}
[/mm]
Somit sollte sich ja dann eigentlich für [mm] div(grad\vec{v}) [/mm] folgendes ergeben: [mm] div(\vec{v})=div(\nabla \varphi)=div(grad \varphi)=\bruch{\partial}{\partial x}\bruch{\partial}{\partial x} \varphi_1+\bruch{\partial}{\partial y}\bruch{\partial}{\partial y} \varphi_2+\bruch{\partial}{\partial z}\bruch{\partial}{\partial z} \varphi_3=\bruch{\partial^2}{\partial x^2}\varphi_1+\bruch{\partial^2}{\partial y^2}\varphi_2+\bruch{\partial^2}{\partial z^2}\varphi_3
[/mm]
Bevor ich mich nun an [mm] rot\vec{v} [/mm] ranschmeiße wollte ich mir zunächst einmal folgende Fragen stellen...
Wie genau kann ich den Satz:
Es sei [mm] \varphi:\IR^3 \to \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Lösung der Laplaceschen DGL [mm] \Delta\varphi=0 [/mm] und [mm] \vec{v}=\nabla \varphi [/mm] verstehen???
Ist das vorgehen, wie ich es gemacht habe prinzipiell richtig oder habt ihr was zu meckern???
Ich danke vielmals für euer Engagement und für eure Hilfe.
mfg dodo4ever
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mo 02.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast bisher $ [mm] \Delta\varphi=0 [/mm] $ nicht benutzt! was ist den [mm] \Delta\varphi [/mm] ausgeschrieben?
warum nicht direkt $ [mm] \nabla *\nabla [/mm] $ und [mm] \nabla \times \nabla [/mm] berechnen?
aber richtig ist, was du bisher gemacht hast.
Gruss leduart
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Hallo leduart und vielen Dank für deine Hilfe...
[mm] \Delta \varphi [/mm] ausgeschrieben ergibt [mm] div(grad\varphi)=\bruch{\partial^2}{\partial x^2}\varphi_1+\bruch{\partial^2}{\partial y^2}\varphi_2+\bruch{\partial^2}{\partial z^2}\varphi_3 [/mm] und das sollte laut Aufgabenstellung 0 sein.
Also [mm] div(grad\varphi)=\bruch{\partial^2}{\partial x^2}\varphi_1+\bruch{\partial^2}{\partial y^2}\varphi_2+\bruch{\partial^2}{\partial z^2}\varphi_3
[/mm]
Berechnet werden sollte aber [mm] div\vec{v}. [/mm] Deshalb war ich nicht sicher, ob ich das auf direktem Wege machen kann.
Du schreibst ich habe [mm] \Delta \varphi=0 [/mm] bisher nicht angewendet. Ich gehe also davon aus, dass die Aufgabe noch nicht fertig ist. Wie kann ich [mm] \Delta \varphi=0 [/mm] anwenden???
Es gilt ja eigentlich [mm] \Delta \varphi=0 [/mm] mit [mm] \Delta \varphi=div(grad\varphi)=\bruch{\partial^2}{\partial x^2}\varphi_1+\bruch{\partial^2}{\partial y^2}\varphi_2+\bruch{\partial^2}{\partial z^2}\varphi_3
[/mm]
Und es gilt div [mm] \vec{v}=div(\nabla\varphi)=div(grad\varphi)=div(grad\varphi)=\bruch{\partial^2}{\partial x^2}\varphi_1+\bruch{\partial^2}{\partial y^2}\varphi_2+\bruch{\partial^2}{\partial z^2}\varphi_3
[/mm]
Also steht ja eigentlich geschrieben:
[mm] \Delta \varphi=div \vec{v}=div(\nabla\varphi)=div(grad\varphi)=\bruch{\partial^2}{\partial x^2}\varphi_1+\bruch{\partial^2}{\partial y^2}\varphi_2+\bruch{\partial^2}{\partial z^2}\varphi_3=0
[/mm]
So würde ich das jetzt anwenden...
mfg und thanks for your help dodo4ever
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Hallo,
also du hast [mm] $\Delta \varphi=0$ [/mm] und ausserdem [mm] $v=\nabla \varphi$. [/mm] leduart wollte dich darauf hinweisen, dass der laplace-operator eigentlich die divergenz des gradienten ist und somit
[mm] $0=\Delta \varphi=\nabla\cdot\nabla \varphi =\nabla\cdot [/mm] v$
du kannst also ohne jegliche rechnung folgern, dass die divergenz des gradienten-feldes v gleich null ist.
weiterhin gibt es noch eine schöne identität für die rotation von gradienten-feldern. falls diese dir nicht bekannt ist, einfach mal die definition hinschreiben...
gruss
matthias
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