Mehrfachintegral - Grenzen? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei $a>0$ und $K :={(x,y,z) [mm] \in \IR^3; [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0, y [mm] \ge [/mm] 0, z [mm] \ge [/mm] 0, x+y+z [mm] \le [/mm] a}$ Berechne [mm] \integral_{K}{(x^3+y^3+z^3) dxdydz} [/mm] |
Hallo!
Ich komme nicht ganz klar bei der Wahl meiner Grenzen für die einzelnen Integrale. Wollte mal Fragen ob folgende Grenzen stimmen:
Wegen x [mm] \ge [/mm] 0 folgt untere Grenze x=0
Wegen x [mm] \le [/mm] a-y-z folgt obere Grenze x=a-y-z
Wegen y [mm] \ge [/mm] 0 folgt untere Grenze y=0
Setze ich nun für x=0 in die Ungleichung ein erhalte ich ja: 0 [mm] \le [/mm] a-y-z [mm] \gdw [/mm] y [mm] \le [/mm] a-z. Also obere Grenze y=a-z
Kann man das so machen? Ist das richtig so?
Damit würde ich dann weiter erhalten:
z=0
z=a
Also ist folgendes Integral zu berechnen:
[mm] \integral_{0}^{a} \integral_{0}^{a-z} \integral_{0}^{a-y-z} {x^3+y^3+z^3 dxdydz}
[/mm]
Stimmt das so?
Danke für Eure Hilfe.
Grüße Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Di 24.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles richtig
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Di 24.06.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Gut, dann bin ich ja beruhigt.
Dankeschön ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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| Aufgabe | | Berechne das Volumen des Bereichs, der durch die Flächen $z=-2$ und $z=4-x-y$, $x,y [mm] \ge [/mm] 0$ begrenzt wird. |
Hey!
Ich habe hier noch ein weiteres Problem, die richtigen Grenzen zu finden.
Es gilt für die untere Grenze z=-2
und obere Grenze z=4-x-y
Wenn ich das gleich setze komme ich auf: -2=4-x-y [mm] \gdw [/mm] y=6-x
Also:
untere Grenze y=0
obere Grenze y=6-x
Für x (hier bin ich mir nicht mehr ganz sicher)
untere Grenze x=0
und obere Grenze x=6
Nun würde ich also das Integral
[mm] \integral_{0}^{6} \integral_{0}^{6-x} \integral_{-2}^{4-x-y}{1 dzdydx}
[/mm]
berechnen. Ist das richtig, dass ich dann über die 1 integriere? Wenn ja, warum ist das genau so? Kann ich alternativ auch direkt nur ein Doppelintegral nehmen und über $f(x,y)=6-x-y$ integrieren?
Insgesamt komme ich dann auf ein Volumen von 36. Dies müsste dann stimmen. Mir gehts halt erstmal darum, ob das Integral so richtig aufgestellt ist.
Danke
Gruß Patrick
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scheint mir alles richtig zu sein
Das Volumen erhält man mit dem Integranden 1,
weil ja 1*dx*dy*dz = dx*dy*dz gerade das "infinitesimale"
Volumen einer quaderförmigen Zelle dieser Ausmasse ist.
Steht da statt der Eins eine Funktion [mm] \rho(x,y,z) [/mm] ("Dichte-
funktion"), so berechnet man mit dem Integral die "Masse"
des Körpers.
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Di 24.06.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Danke Dir! 
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