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| Aufgabe | [mm] \integral \integral \integral_{B} [/mm] {1 dx dy dz}
B={(x,y,z):|x|+|y|+|z| [mm] \le [/mm] 2} |
Ich verstehe einfach nicht wie man hier die Grenzen setzen soll. Aber nicht nur dieses Beispiel bereitet mir Probleme, sondern ich hab allgemein Schwierigkeiten mir die Grenzen vorzustellen bei Mehrfachintegralen. Kann mir wer helfen damit ich dieses und auch andere Beispiele lösen kann?
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Hallo!
Was ist denn der größte Zahlenbereich, den x annehmen kann?
Und abhängig von x, welches ist der größte Bereich, den y annehmen kann?
Schlußendlich: Abhängig von x und y, was ist der größe Bereich, den z annehmen kann?
Das sollte relativ einfach sein.
Aber du siehst selbst, es gibt mehrere Wege, denn du könntest auch mit y oder z anfangen.
Die genaue Taktik hängt von der Form des Gebietes und/oder von dem Integranden ab.
Beispiel:
[mm]|y|
Dieses Gebiet wird durch zwei sich bei [mm] x=\pm2 [/mm] schneidende Normparabeln begrenzt. Man kann das Gebiet also so parametrisieren und die Integralgrenzen ablesen:
[mm]x\in[-2; \ +2]\qquad y\in[-(x^2-4); \ +(x^2-4)][/mm]
und damit: [mm]\integral_{-2}^{+2}\left(\integral_{-(x^2-4)}^{+(x^2-4)}1\,dy\right)\,dx[/mm]
Das ist einfach zu berechnen.
Umgekehrt kannst du aber auch sagen, daß
[mm]y\in[-4; \ +4][/mm] gilt, was für x etwas unangenehm wird:
[mm]x\in\left[-\sqrt{|y|-4}; \ +\sqrt{|y|-4}\right][/mm]
Auch damit läßt sich das Integral noch berechnen, allerdings ist das schon deutlich schwieriger.
Nun zum Integranden:
Angenommen, du willst [mm] \sin(x) [/mm] über das o.g. Gebiet integrieren. Im ersten Fall führt das zu
[mm]\integral_{-2}^{+2}\left(\integral_{-(x^2-4)}^{+(x^2-4)}\sin(x)\,dy\right)\,dx=\integral_{-2}^{+2}\sin(x)*\left(\integral_{-(x^2-4)}^{+(x^2-4)}\,dy\right)\,dx[/mm]
Etwas unangenehm, weil hinterher über ein Produkt aus SIN und einem Polynom integriert wird, aber naja.
Schlimm wird es, wenn du erst über x integrieren willst:
[mm] $\int_{-\sqrt{|y|-4}}^{+\sqrt{|y|-4}}\sin(x)\,dx=\cos(\sqrt{|y|-4})-\cos(-\sqrt{|y|-4})$
[/mm]
(Gut, ich merke grade, das wird =0, aber ignorieren wir das mal)
Du würdest nun vor dem Problem stehen, sowas wie
[mm] $\int_{-4}^{+4}\cos(\sqrt{|y|-4})\,dy$
[/mm]
zu integieren. Viel Spaß!
Du siehst, es hängt sowohl von dem Gebiet selbst als auch von dem Integranden ab, ob das Integral einfacher oder überhaupt lösbar ist. Wie rum du die Grenzen am besten fest legst läßt sich aber nicht pauschal sagen.
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Danke für die Antwort!
Also für x ist die obere Grenze 2 das ist klar. Aber bei der unteren bin ich mir nicht sicher, entweder [mm] -\infty [/mm] oder -2, aber eher -2. dann wäre für y die obere Grenze 2-x, und wieder bin ich bei der unteren unsicher. Obere Grenze für z ist dann 2-x-y. Wenn ich das dann rechne mit -2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2, -(2-x) [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 2-x und -(2-x-y) [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2-x-y dann kommt bei mir [mm] \bruch{128}{3} [/mm] raus.
Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 So 17.10.2010 | | Autor: | chrisno |
> Also für x ist die obere Grenze 2 das ist klar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber bei
> der unteren bin ich mir nicht sicher, entweder [mm]-\infty[/mm] oder
> -2, aber eher -2.
Wie kommst Du denn auf [mm]-\infty[/mm]? Die Betragsfunktion macht alles positiv. Es werden also drei positive Zahlen addiert. Sobald eine davon 2 ist, müssen die anderen beiden null sein. Wenn x = -3, dann ist doch |x| = 3 und damit ist das schon zuviel.
> dann wäre für y die obere Grenze 2-x,
für y bleibt alles das übrig, was vom x noch nicht verbraucht wurde. Aber so stimmt es noch nicht ganz, denn wenn nun x = -1, dann würdest Du ja bis y=3 integrieren.
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> Wie kommst Du denn auf [mm]-\infty[/mm]? Die Betragsfunktion macht
> alles positiv. Es werden also drei positive Zahlen addiert.
> Sobald eine davon 2 ist, müssen die anderen beiden null
> sein. Wenn x = -3, dann ist doch |x| = 3 und damit ist das
> schon zuviel.
Viele Dank für die Erklärung! Jetzt hab ichs kapiert, da hab ich einfach nicht mitgedacht.
> > dann wäre für y die obere Grenze 2-x,
> für y bleibt alles das übrig, was vom x noch nicht
> verbraucht wurde. Aber so stimmt es noch nicht ganz, denn
> wenn nun x = -1, dann würdest Du ja bis y=3 integrieren.
>
Das versteh ich jetzt nicht ganz, wie setz ich da denn die Grenzen richtig? x als Betrag funktioniert ja auch nicht..
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Hallo Wieselwiesel,
> > > dann wäre für y die obere Grenze 2-x,
> > für y bleibt alles das übrig, was vom x noch nicht
> > verbraucht wurde. Aber so stimmt es noch nicht ganz, denn
> > wenn nun x = -1, dann würdest Du ja bis y=3 integrieren.
> >
>
> Das versteh ich jetzt nicht ganz, wie setz ich da denn die
> Grenzen richtig? x als Betrag funktioniert ja auch nicht..
Nun. die Grenzen ermittelst Du aus der Gleichung
[mm]\vmat{x}+\vmat{y}+\vmat{z} \le 2[/mm]
Hieraus ergeben sich nacheinander:
[mm]\vmat{z} \le 2- \vmat{x}-\vmat{y}[/mm]
[mm]\vmat{y} \le 2-\vmat{x}[/mm]
[mm]\vmat{x} \le 2[/mm]
So daß das zu berechnende Integral lautet:
[mm]\integral_{-2}^{2}{ \integral_{-\left(2-\vmat{x}\right)}^{2-\vmat{x}\right)}{ \integral_{-\left(2-\vmat{x}-\vmat{y}\right)}^{2-\vmat{x}-\vmat{y}\right)}{ 1 \ dz }\ dy }\ dx}[/mm]
Für die Berechnung des Integrals musst Du dann das
entsprechende Integral aufteilen.
Gruss
MathePower
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Aaaah, ich habs kapiert! War schon ein bisschen spät gestern.
Danke!
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