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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Ursus |
| Aufgabe | Man integriere die Funktion f(x,y) = [mm] (x+y)^{2} [/mm] über dem Parallelogramm
x + y = 0, x + y = 1, 2x - y = 0, 2x - y = 3. |
Mein Ansatz:
Die Randgeraden legen folgende Transformation nahe:
u = x + y
v = 2x - y
durch Lösen des GLS
[mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \bruch{u+v}{3}, [/mm] y = [mm] \bruch{2u-v}{3}
[/mm]
Transformation
[mm] \alpha [/mm] (u,v) = [mm] \vektor{ \bruch{u+v}{3} \\ \bruch{2u-v}{3}} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
Det [mm] \alpha(u,v) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
Jetzt zum Integral:
[mm] \integral_{ }^{ } \integral_{ }^{ } {(x+y)^{2} dx }{ dy}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{3} \integral_{0}^{1} [/mm] {( [mm] \bruch{u + v + 2u - v}{3})^{2} *(-\bruch{1}{3}) [/mm] du }{ dv} =
[mm] \integral_{0}^{3} \integral_{0}^{1} {u^{2} *(-\bruch{1}{3}) du }{ dv} [/mm] =
[mm] -\bruch{1}{3} \integral_{0}^{3} {\bruch{1}{3} dv} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
Frage:
Ist meine Rechnung korrekt?
Passt die Substitution?
Vielen Dank für eure Hilfe!
bis bald, mfg URSUS
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Hallo Ursus,
> Man integriere die Funktion f(x,y) = [mm](x+y)^{2}[/mm] über dem
> Parallelogramm
> x + y = 0, x + y = 1, 2x - y = 0, 2x - y = 3.
> Mein Ansatz:
>
> Die Randgeraden legen folgende Transformation nahe:
> u = x + y
> v = 2x - y
> durch Lösen des GLS
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = [mm]\bruch{u+v}{3},[/mm] y = [mm]\bruch{2u-v}{3}[/mm]
>
> Transformation
> [mm]\alpha[/mm] (u,v) = [mm]\vektor{ \bruch{u+v}{3} \\ \bruch{2u-v}{3}}[/mm]
> = [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
>
> Det [mm]\alpha(u,v)[/mm] = [mm]-\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Jetzt zum Integral:
>
> [mm]\integral_{ }^{ } \integral_{ }^{ } {(x+y)^{2} dx }{ dy}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{3} \integral_{0}^{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{( [mm]\bruch{u + v + 2u - v}{3})^{2} *(-\bruch{1}{3})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> du }{ dv} =
>
> [mm]\integral_{0}^{3} \integral_{0}^{1} {u^{2} *(-\bruch{1}{3}) du }{ dv}[/mm]
> =
>
> [mm]-\bruch{1}{3} \integral_{0}^{3} {\bruch{1}{3} dv}[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Frage:
>
> Ist meine Rechnung korrekt?
> Passt die Substitution?
Alles ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
> bis bald, mfg URSUS
>
>
>
Gruß
MathePower
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