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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:17 Mi 07.03.2007 | | Autor: | cardia |
| Aufgabe | a) Skizzieren Sie das Gebiet B, das durch den Kegel [mm] z²=\bruch{H²}{R²}(x²+y²) [/mm] und die Ebene z=H (H>0) begrenzt wird.
b) Berechnen Sie das Dreifachintegral durch Übergang zu Zylinderkoordinaten [mm] \integral\integral_{B}\integral [/mm] dxdydz
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Hallo alle zusammen!
Tja wer Teil a nicht kann, kennt die Grenzen des Integrals nicht und kann nichts berechnen. Und so gehts mir. Ich habe keine Ahnung wie man so was skizzieren soll. Wer kann mir sagen was ich evtl. wie zu Null setzten muss, um was in welchen Quadranten zu skizzieren. Wie soll ich die Kegelgleichung in einem x-y-z System handhaben und was ist dann jeweils mit R und H. Setzte ich dafür irgendwelche Werte ein um eine Skizze zu bekommen?
Vielleicht hat ja auch jmd. ein Kochrezept für solchen Typ Aufgaben (Vorgehensweise).
DANKE DANKE DANKE
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Hallo,
> a) Skizzieren Sie das Gebiet B, das durch den Kegel
> [mm]z²=\bruch{H²}{R²}(x²+y²)[/mm] und die Ebene z=H (H>0) begrenzt
> wird.
Gut, stelle dir die x-y-Ebene als 'flach liegende' Ebene und die z-Koordinate als Höhenkoordinate vor. Weil durch [mm] $r=\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] in der x-y-ebene der abstand vom nullpunkt definiert ist, können wir durch diese substitution das problem um eine dimension reduzieren. Versuche dir dann, die menge [mm] $z^2=\frac{H^2}{R^2}r^2$ [/mm] vorzustellen. Der kegel in 3D ergibt sich einfach durch rotation dieses graphs um die z-Achse.
Überlege dir am vereinfachten modell, wo der Kegel die Ebene $z=H$ schneidet. Du kannst außerdem recht leicht ablesen, welchen einfluss die parameter $H$ und $R$ haben.
Für b) brauchst du dann nur noch die grenzen abzulesen: für [mm] $\varphi$ [/mm] sind die klar, für $r$ hängt es vom schnittort ab, und für $h$ hängen sie von $r$ ab, das solltest du auch im 2D modell ablesen können.
Viele Grüße
Matthias
> b) Berechnen Sie das Dreifachintegral durch Übergang zu
> Zylinderkoordinaten [mm]\integral\integral_{B}\integral[/mm] dxdydz
>
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> Hallo alle zusammen!
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> Tja wer Teil a nicht kann, kennt die Grenzen des Integrals
> nicht und kann nichts berechnen. Und so gehts mir. Ich habe
> keine Ahnung wie man so was skizzieren soll. Wer kann mir
> sagen was ich evtl. wie zu Null setzten muss, um was in
> welchen Quadranten zu skizzieren. Wie soll ich die
> Kegelgleichung in einem x-y-z System handhaben und was ist
> dann jeweils mit R und H. Setzte ich dafür irgendwelche
> Werte ein um eine Skizze zu bekommen?
>
> Vielleicht hat ja auch jmd. ein Kochrezept für solchen Typ
> Aufgaben (Vorgehensweise).
>
> DANKE DANKE DANKE
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Fr 09.03.2007 | | Autor: | cardia |
Hallo Matthias und natürlich auch alle anderen!
Okay! [mm] r=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] ist der Abstand vom Nullpunkt mit x und y als zugehörige Koordinaten in der X-Y Ebene. Sind beide Null liegt der Kegel also symmetrisch zur Z-Achse.
Doch ohne Abstand zur Z-Achse kein Kegel, da [mm] z^2=\bruch{H^2}{R^2}*r^2=0 [/mm] (mit r=0) oder wie muss ich das verstehen?
Was sind denn dann R und H?
Ist R der Radius der projezierten Kegelfläche und H die Höhe vom Kegel?
Und was soll z sein?
Die Mantellinie? Also sei Z(x,y), die mir meine Funktionskurve in der Z-X Ebene bzw. Z-Y Ebene gibt womit ich dann, bei Rotation um die Z-Achse den Kegel erhalte.
Doch in meiner Literatur (gerader Kreiskegel) habe ich für die Mantellinie das hier gefunden: [mm] s=\wurzel{r^2+h^2} [/mm] mit r=Radius der projezierten Kegelfläche und h=Höhe vom Kegel.
Also ich bin momentan immer noch ganz schön verwirrt!
In meiner Skizze (siehe unten) bin ich dann mal von r = Abstand vom Nullpunkt, R = Radius und H = Höhe ausgegangen und mein Hirn hat folgendes ans Papier gesandt.
Ist das richtig?
Danke Euch für Eure weitere Hilfe!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
lass das ganze mal so angehen:
[mm] $z^2=\frac{H^2}{R^2}r^2$
[/mm]
impliziert
[mm] $z=\pm\frac{H}{R}|r|$.
[/mm]
Ich denke, wir beschränken uns hier auf den kegel mit [mm] $z\ge [/mm] 0$, also :
[mm] $z=\frac{H}{R}|r|$.
[/mm]
der kegel hat übrigens seine spitze im nullpunkt und öffnet sich nach oben, deine skizze stimmt also nicht.
Bei welchem $r$ schneidet der kegel die ebene $z=H$? setze das einfach in die gleichung ein:
[mm] $H=\frac{H}{R}|r|$.
[/mm]
siehe da: $|r|=R$ ist die lösung! damit hast du eigentlich die grenzen für dein integral: der winkel läuft von 0 bis [mm] $2\pi$, [/mm] r von 0 bis $R$ und $h$ von $r$ bis $H$.
Alles klar?
gruß
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:14 So 11.03.2007 | | Autor: | cardia |
Hallo!
Leider hat mich der letzte Beitrag immer noch nicht weiter gebracht. Wie soll ich etwas skizizieren, wenn ich die Parameter nicht zuordnen kann.
Anscheinend ist [mm] r^2=x^2+y^2 [/mm] der Abstand vom Nullpunkt.
Hier sind immer noch Verständnisprobleme!!!!
Ist dieser Null (x=0 und y=0 also Ursprung im "Ursprung") dann kann es keinen Kegel geben, da z=0 wegen r=0.
Und ich weiß immer noch nicht was H und R sein sollen. Radius und Höhe des Kegels.
Vielleicht kann mir ja mal jmd. mit einer Zeichnung helfen.
Ich würde die Aufgabe echt gerne verstehen!
DANKE!
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Was bedeutet eine Funktionsgleichung mit 2 Variablen? Sie gibt dir an, wie ein Graph (i.a. eine Linie) im 2-dim. Koordinatensystem aussieht. Dabei wird der jeweilige y-Wert eines Punktes mit Hilfe von f aus dem jeweiligen x-Wert berechnet.
Hier bekommst du nun eine andere Figur: i.a. wird so eine Fläche berechnet. Zu jedem x- und y- Wert bekommst du den zugehörigen z-Wert mit Hilfe der Funktionsgleichung, und wenn du alle Punkte miteinander verbindest, erhältst du hier die Kegelfläche.
Stelle dir die x-y-Ebene als Tischfläche vor. Im Ursprung stellst du senkrecht eine Stange auf, die der z-Achse und damit der jeweiligen Höhe über dem Tisch entspricht.
Zunächst vereinfachen wir deine Gleichung zu [mm] z^{2}=x^{2}+ y^{2} [/mm] und betrachten nur z [mm] \ge [/mm] 0.
Gehe nun zu irgendeinem Punkt (x|y) auf dem Tisch. Berechne [mm] x^{2}+ y^{2} [/mm] und ziehe daraus die Wurzel. Du erhältst genau den Abstand r des Punktes vom Ursprung. Diesen Wert musst du jetzt in z-Richtung nach oben gehen.
Nun wird klar: Wandert man über alle Punkte der x-y-Ebene, die vom Ursprung den selben Abstand r haben, erhält man für z dieselbe Höhe, nämlich ebenfalls r. Also ergibt sich über dem Kreis ein gleichgroßer Kreis. Wächst nun der Radius in der x-y-Ebene, so wächst auch der Kreis darüber und seine Höhe z. Alle "Höhenringe" miteinander verbunden ergeben einen Trichter (Kegel, der auf der Spitze steht) mit einem Öffnungswinkel von 45 °.
Wie bekommt man nun spitzere oder stumpfere Trichter? Indem man z mit einem Faktor streckt oder staucht. Soll der gesamte Kegel die Höhe H und den oberen Radius R haben, so wählt man dafür den konstanten Faktor H/R. Ist nun r auf R angestiegen, so ergibt sich für z gerade als Höhe der gewünste Wert H.
Also beschreibt die Funktionsgleichung einen Trichter, der in der Höhe H den Radius R hat. Natürlich kannst du noch größere Radien r einsetzen, der Trichter wird dann rechnerisch über den oberen Rand hinaus verlängert.
Die Ebene z=H sieht so aus: Du deckst den Trichter nun oben mit einem Holzbrett zu, und das ist die Ebene z=H.
Unter dxdydz musst du dir nun ein kleines Würfelchen vorstellen, also ein Volumen. Mit anderen Worten heißt deine Aufgabe: Welches Volumen hat ein Kegel mit Radius R und Höhe H. Du musst also nach der Integration [mm] 1/3\pi R^{2}H [/mm] erhalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 So 11.03.2007 | | Autor: | cardia |
Hallo!
Damits schneller geht habe ich meine Sachen mal eingescannt.
Allerdings habe ich nicht ganz dieses Ergebnis.
Aber ich gucke noch mal drüber. Stimmen denn jetzt meine Grenzen?
Danke!
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Deine Skizze ist richtig, aber z geht nicht von H/R bis R, sondern von 0 bis H. Das von dir ins Koordinatensystem eingezeichnete R ist zu groß, R muss genau unter dem rechten Rand des oberen Kreises stehen (nicht 6, sondern 3,5 Kästchen nach rechts).
Beim Integral machst du schon zu Anfang einen Fehler, das z ist zu viel.
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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