Menge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es sei M:= {(x,y) [mm] \in R^2 [/mm] | (16-x²)(9-y²) [mm] \ge [/mm] 0 }
Ist M abgeschlossen?
Ist M beschränkt?
Man berechne M und skizziere M und den offenen Kern von M. |
Guten Abend !
Was stellt diese Menge M dar?
Ich hab versucht, das das etwas umzuformen, aber für mich macht das noch keinen Sinn:
(16-x²)(9-y²) = (4-x)(4+x)(3-y)(3+y)= 144 - 16y² - 9x²+x²y²=y²(-16+x²)+144 - 9 x² ??
viele grüße
riley
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Umzuformen brauchst du - glaube ich - garnicht so wahnsinnig viel.
Vielleicht das hier, weil es übersichtlicher ist:
[mm] $\left(16-x^2\right)\left(9-y^2\right)\ge0$
[/mm]
[mm] $\left(x^2-16\right)\left(y^2-9\right)\ge0$
[/mm]
An diesem Punkt angekommen, ist es nett zu überlegen, wann ein Produkt aus zwei Faktoren [mm] $\ge [/mm] 0$ sein kann.
Das schreit eventuell nach einer kleinen Fallunterscheidung.
Gruß Karthagoras
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Karthagoras!!
Danke für deine antwort!
also das Produkt ist gleich null, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist und größer null wenn entweder beide Faktoren negativ oder beide positiv sind...
[mm] \left(16-x^2\right)\left(9-y^2\right) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x²=16 v y²=9
[mm] \left(16-x^2\right)\left(9-y^2\right) [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x² < 16 und y²< 9 oder x²>16 und y²>9 , hast du das so gemeint?
nur was für ein gebilde beschreibt denn die gleichung? kann mir da noch gar nichts drunter vorstellen...
viele grüße
riley
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[mm]\left(16-x^2\right)\left(9-y^2\right)\ge0[/mm]
[mm] \gdw \left(x^2\le16\wedge y^2\le9\right)\vee \left(x^2\ge16 \wedge y^2\ge9\right)[/mm]
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
[mm] \gdw \left(\left|x\right|\le4\wedge \left|y\right|\le3\right)\vee \left(\left|x\right|\ge4\wedge \left|y\right|\ge3\right)[/mm]
Gruß Karthagoras 
(Formel musste repariert werden. Berechtigter Einspruch von Riley)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 So 18.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Karthagoras!
Dankeschön für deine Antwort.
ich versteh die letzte zeile nicht ganz, muss es nicht heißen
(|x| [mm] \le [/mm] 4 und [mm] |y|\le3) [/mm] oder (|x| [mm] \ge [/mm] 4 und |y| [mm] \ge [/mm] 3 ) ??
und wie sieht das dann zeichnerisch aus? f(x) = |x| ist ja so eine spitze, aber wie ist das gleichzeitig mit |y|??
viele grüße
riley
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> Hi Karthagoras!
> Dankeschön für deine Antwort.
> ich versteh die letzte zeile nicht ganz, muss es nicht
> heißen
>
> (|x| [mm]\le[/mm] 4 und [mm]|y|\le3)[/mm] oder (|x| [mm]\ge[/mm] 4 und |y| [mm]\ge[/mm] 3 ) ??
Ja, stimmt!!! ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
[mm]\left(\left|x\right|\le4\wedge \left|y\right|\le3\right)\vee \left(\left|x\right|\ge4\wedge \left|y\right|\ge3\right)[/mm]
> und wie sieht das dann zeichnerisch aus? f(x) = |x| ist ja
> so eine spitze, aber wie ist das gleichzeitig mit |y|??
>
> viele grüße
> riley
Wie das graphisch aussieht?
Fang einfach an und versuche zu beantworten, wie der Graph des linken Teils aussieht, also die Menge aller Punkte:
[mm] \left\{\left(x|y\right)| \left|x\right|\le4\wedge \left|y\right|\le3\right\}[/mm]
Dafür solltest du erstmal (selber ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]") ) eine Beschreibung finden.
Tipp: Dieser Teil stellt eine geschlossene Figur dar.
Gruß Karthagoras
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:16 So 18.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Karthagoras!
hmm, danke, wenn ich das wüsste würde ich ja nicht fragen... =)
ich bin mir nicht sicher, aber ist das vielleicht ein kreis mit radius kleiner 4 bzw kleiner drei?
aber dann versteh ich noch nicht warum das einmal x und einmal y ist?!
viele grüße
riley
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Also schön. Riley
[mm] $\left\{\left(x|y\right)|\left|x\right| \le 4\right\}$ [/mm] z. B. ist die Menge aller Punkte, deren y-Kordinate irgendeinen Wert annimmt und deren x-Koordinate zwischen -4 und +4 liegt (Grenzen gehören mit dazu).
Das ist ein vertikaler Streifen der Breite 8, der sich symmetrisch um die y-Achse erstreckt.
[mm] $\left\{\left(x|y\right)|\left|y\right| \le 3\right\}$ [/mm] ist ein horizontaler Gürtel.
(So ähnlich, wie sich die Tropen um den Äquator gruppieren)
Wenn beides gilt bekommst du ... eeehhh keinen Kreis, sondern ein Rechteck, in dessen Zentrum sich der Koordinaten-Ursprung befindet.
Gruß Karthagoras
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Mo 19.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Karthagoras!!
thx a lot für deine erklärungen, jetzt kann ich mir etwas drunter vorstellen =))
also, d.h. dass die Menge abgeschlossen ist, da die Ränder dazu gehören.
und M ist auch beschränkt, da M aus [mm] \overline{K} [/mm] (0,r) für z.B. r=10.
langen diese begründungen oder muss sollte ich das mathematisch korrekter beweisen?
und den offenen kern skizzieren, das sind doch einfach alle inneren punkte ohne rand, oder??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Mo 19.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
Du hast den 2. Teil der Menge vergessen, den mit den großen x und y! Den solltest du jetzt selbst finden können.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Di 20.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi leudart!
danke für den hinweis, hab ich glatt vergessen.
der zweite teil der menge sind dann alle punkte, außer dem inneren des rechtecks, oder?
dieser teil der menge ist dann aber weder abgeschlossen noch beschränkt, wie kann ich das mit dem ersten teil kombinieren?![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Di 20.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
Du musst etwas langsamer Schlüsse ziehen: zeichne mal die "grenzlinien" der 2. Menge ein. die Punkte x<4, y>3 gehören nicht dazu, sie liegen aber ausserhalb der Menge. Deine Schlussfolgerung wäre ja insgesamt ganz [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Wenn du die Menge hast, das ist die Verinigung der 2 einzeln gefundenen, kannst du sicher finden, was sie ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
Danke für deine hilfe. Vielleicht sind meine Skizzen falsch? die erste Skizze ist ein Rechteck, die zweite Skizze zeigt alle Punkte außer diesem Rechteck. Und wenn ich die beiden vereinige hast du recht würd ich den [mm] R^2 [/mm] bekommen. und das ist stimmt nicht?? oder muss ich die mengen schneiden, weil wir ja (menge1) [mm] \underline{oder} [/mm] (menge2) rausbekommen haben?
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
vielleicht hilft dir ja folgender Zusammenhang weiter,
wenn es um Mengen und Junktoren der Aussagenlogik geht.
$ [mm] \{(x|y) | \mbox{Bedingung_1} \color{blue}\vee \color{black} \mbox{Bedingung_2} \}=\{(x|y) | \mbox{Bedingung_1} \} \color{blue} \cup \color{black}\{(x|y) | \mbox{Bedingung_2} \}$
[/mm]
$ [mm] \{(x|y) | \mbox{Bedingung_1} \color{red}\wedge \color{black} \mbox{Bedingung_2} \}=\{(x|y)| \mbox{Bedingung_1} \} \color{red} \cap \color{black}\{(x|y)| \mbox{Bedingung_2} \} [/mm] $
D.h. sie vertragen sich ganz gut miteinander. Insbesondere ist es hilfreich,
dass die Öffnungen entweder beide nach oben oder beide nach unten zeigen.
Vielleicht nützt dir das ja bei solchen Aufgaben, wie dieser
Gruß Karthagoras
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Riley |
dankeschön - ja das hilft, muss ich mir unbedingt merken !!
aber wenn ich meine skizzen anschaue und die vereinigung bilde dann komm ich immer noch auf den [mm] R^2... [/mm] ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Mi 21.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
Ich nehm mal nur den 1. Quadranten. Alle Punkte die unterhalb y=3 und rechts von x=4 liegen gehören nicht zu der Menge! entsprechend in den anderen Quadranten!
Es lohnt sich scheins für dich, auch mal Punkte zu suchen die nicht zu der menge gehören.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Do 22.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
hm, meinst du die gesamte menge??
warum gehören die punkte y<3 und x>4 nicht dazu?? das haben wir doch oben rausbekommen??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
ich glaube, dass Leduart es für nützlich hält, mal
eine handvoll Punkte konkret zu befragen ob sie zu der Menge
gehören oder nicht. Und ich glaube, dass das eine gute Idee ist.
Geignete Kandidaten sind z.B.
[mm] [li]$\vektor{-2 & 1,5}$[/li]
[/mm][mm] [li]$\vektor{-2 & 5}$[/li]
[/mm][mm] [li]$\vektor{17 & 29,3}$[/li]
[/mm][mm] [li]$\vektor{0 & 0}$[/li]
[/mm][mm] [li]$\vektor{-4 & 0,5}$[/li]
[/mm][mm] [li]$\vektor{5 & \pi}$[/li]
[/mm]
etc.
Setze sie probeweise in die Lösung ein:
[mm] [li]$\vektor{-2 & 1,5}\in\left\{ (x | y)\in \IR^2 | \left(\left|x\right|\color{green}\le\color{black}4\wedge \left|y\right|\color{green}\le\color{black}3\right)\vee \left(\left|x\right|\color{red}\ge\color{black}4\wedge \left|y\right|\color{red}\ge\color{black}3\right) \right\}$[/li]
[/mm]
[mm] [li]$\vektor{-2 & 5,0}\notin\left\{ (x | y)\in \IR^2 | \left(\left|x\right|\color{green}\le\color{black}4\wedge \left|y\right|\color{red}\le\color{black}3\right)\vee \left(\left|x\right|\color{red}\ge\color{black}4\wedge \left|y\right|\color{green}\ge\color{black}3\right) \right\}$[/li]
[/mm]
(Ich hoffe, dass du nicht ausgerechnet rot-grün-blind bist.)
Oder setze sie in die Ungleichung der Originalaufgabe ein:
[mm] [li]$\vektor{-2 & 1,5}\in\left\{(x|y) \in \IR^2 | (16-x^2)(9-y^2) \color{green}\ge\color{black} 0 \right\}$[/li]
[/mm][mm] [li]$\vektor{-2 & 5,0}\notin\left\{(x|y) \in \IR^2 | (16-x^2)(9-y^2) \color{red}\ge\color{black} 0 \right\}$[/li]
[/mm]
Das könntest du mit jedem Punkt machen, von dem du dir
nicht sicher bist, ob er zum Graphen dazu gehört oder nicht.
Gruß Karthagoras
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Karthagoras!
vielen Dank für deine erklärung!! (rot-grün kann ichgrad noch unterscheiden  ) )
hab nun mal einige punkte durchprobiert!
ich glaub die punkte die du vorgeschlagen hast, müssten alle in der menge liegen. aber sobald die eine klammer negativ wird und die andre positiv nicht mehr. demnach müssten alle punkt in dem rechteck um den ursprung mit breite 8 und höhe 6 liegen??
aber dann versteh ich nicht was wir vorher mit den streifen gemacht haben...??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Di 27.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
Wir hatten doch |x|<4 und |y|?4 gehören dazu. Die ligen in dem Rechteck.
rchts neben dem Rechteck liegen die Punkte x>4 und y>3 die gehören NICHT dazu! Setz mal x=6, y=2 in deine ursprüngliche Gleichung ein , dann kommt -100 raus und das ist sicher nicht größer 0
Du hast das ODER falsch verstanden! Entweder beide Beträge kleiner, ODER beide Beträge größer, einer kleiner, der andere größer gehört damit NICHT zu der Menge! (denn dann ist die eine Klammer negativ, die andere positiv und das Produkt negativ!
Jetzt fang noch mal an die vielen posts zu lesen und denk ne Weile nach!
Gruss leduart
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