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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Di 05.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich habe hier einen Satz, dessen Beweis ich nicht verstehe.
Satz :
Eine Teilmenge M eine abzählbaren Menge A ist endlich oder abzählbar.
Beweis :
Sei o.B.d.A. [mm] A = \mathbb N [/mm].
Win nehmen an, dass M unendlich ist und müssen eine Bijektion f von[mm] \mathbb N [/mm] nach M finden.
Wir definieren f(n) durch Induktion nach n:
[mm] f(1) := \min{M} [/mm]
Sind [mm] f(1), ... , f(n-1) [/mm] bereits definiertm so sei
[mm] f(n) : = [mm] \min{ ( M \setminus \{ f(1), ... , f(n-1) \} ) }
[/mm]
So, nun verstehe ich erstmal nicht, warum man fertig ist? Und wenn man doch eine Bijektion finden möchte, warum nimmt man an, dass M unendlich ist? Will man eine Widerspruchsbeweis führen?
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Di 05.08.2008 | | Autor: | Framl |
> Guten Tag alle zusammen!
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Hi
> Ich habe hier einen Satz, dessen Beweis ich nicht
> verstehe.
>
> Satz :
>
> Eine Teilmenge M eine abzählbaren Menge A ist endlich oder
> abzählbar.
>
Wenn sie endlich ist, ist sie auch abzählbar. Man müsste eher sagen entweder die Menge ist
1.) unendlich und abzählbar
oder
2.) endlich (und damit sowieso abzählbar)
> Beweis :
>
> Sei o.B.d.A. [mm]A = \mathbb N [/mm].
> Win nehmen an, dass M
> unendlich ist und müssen eine Bijektion f von[mm] \mathbb N[/mm]
> nach M finden.
> Wir definieren f(n) durch Induktion nach n:
>
> [mm]f(1) := \min{M}[/mm]
>
> Sind [mm]f(1), ... , f(n-1)[/mm] bereits definiertm so sei
>
> [mm]f(n) : = [mm]\min{ ( M \setminus \{ f(1), ... , f(n-1) \} ) }[/mm]
>
>So, nun verstehe ich erstmal nicht, warum man fertig ist? Und wenn man >doch eine Bijektion finden möchte, warum nimmt man an, dass M >unendlich ist? Will man eine Widerspruchsbeweis führen?
>
>
Wie oben gesagt - wenn M endlich wäre als Teilmenge der natürlichen Zahlen ist die Sache eh klar.
Also nimmt man an, dass M unendlich ist. Die natürlichen Zahlen sind ja auch unendlich und abzählbar.
>Vielen Dank für die Hilfe!
>Viele Grüße
>Irmchen
Gruß Framl
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> Guten Tag alle zusammen!
>
> Ich habe hier einen Satz, dessen Beweis ich nicht
> verstehe.
>
> Satz :
>
> Eine Teilmenge M eine abzählbaren Menge A ist endlich oder
> abzählbar.
>
> Beweis :
>
> Sei o.B.d.A. [mm]A = \mathbb N [/mm].
> Win nehmen an, dass M
> unendlich ist
andernfalls wäre $M$ endlich und die Behauptung würde gelten.
> und müssen eine Bijektion f von[mm] \mathbb N[/mm]
> nach M finden.
denn so haben wir die abzählbare Unendlichkeit einer Menge definiert.
> Wir definieren f(n) durch Induktion nach n:
>
> [mm]f(1) := \min{M}[/mm]
>
> Sind [mm]f(1), ... , f(n-1)[/mm] bereits definiertm so sei
>
> [mm]f(n) : = [mm]\min{ ( M \setminus \{ f(1), ... , f(n-1) \} ) }[/mm]
> So, nun verstehe ich erstmal nicht, warum man fertig ist?
Weil man offenbar der Meinung ist, man hätte mit $f$ eine Bijektion von [mm] $\IN$ [/mm] auf $M$ definiert.
> Und wenn man doch eine Bijektion finden möchte, warum nimmt man an,
> dass M unendlich ist?
Wenn $M$ nicht unendlich wäre, dann müsste man nichts mehr beweisen. Unendlich heisst hier nur: nicht endlich. Wäre $M$ also endlich, wäre die zu beweisende Eigenschaft von $M$ (endlich oder abzählbar unendlich zu sein) schon bewiesen.
>Will man eine Widerspruchsbeweis führen?
Nein, man will, im Falle dass $M$ unendlich ist, eine Bijektion von [mm] $\IN$ [/mm] und $M$ nachweisen. Dann folgt, dass $M$ wie behauptet abzählbar unendlich ist. Dass es eine solche Bijektion auch für echte (aber unendliche) Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] überhaupt gibt, hat z.B. Galileo noch verblüfft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Di 05.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Vielen Dank für die Antworten.
Jetzt habe ich es geschafft, das Chaos in meinem Kopf zu sortieren  .
Viele Grüße
Irmchen
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