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| Aufgabe | | Könnt ihr mir bei einer Verständnisfrage helfen? |
In meinem Skript steht:
"Wir teilen [mm] \IZ [/mm] in m Klassen folgendermaßen ein: Zu jedem r Element (0,1,...,m-1) betrachten wir die Menge
[mm] r+m\IZ:=(r+m*n [/mm] : n Element [mm] \IZ)
[/mm]
Soweit so klar
Bsp.: m=5
r= 0,1,2,3,4
[mm] \IZ:=(0+5n)\cup(1+5n)\cup(2+5n)\cup(3+5n)\cup(4+5n)
[/mm]
Also teilen wir die ganzen Zahlen in 5 Klassen ! ? welche wir als Restklassen modulo bezeichnen.
Jetzt steh in meinem Skript das wir zu jedem a Element [mm] \IZ [/mm] mit [mm] \overline{a}= [/mm] a [mm] +m\IZ [/mm] die Restklasse von a bezeichnen.
Bedeutet jettzt [mm] m\IZ [/mm] eigentlich nur wieder m*n für ein festes n oder betrachten wir die Menge der ganzen Zahlen [mm] \IZ [/mm] mal m??
Desweiteren definieren wir die Addition [mm] \overline{a}+\overline{b}:=\overline{a+b}
[/mm]
Bedeutet das jetzt das [mm] \overline{a}+\overline{b}= [/mm] a [mm] +m\IZ [/mm] + b [mm] +m\IZ [/mm] = [mm] a+b+2m\IZ [/mm] = a+b+2mn ist??
Und dann steht da ncoh:
Ist m Element [mm] \IZ [/mm] und m>0 so ist die Menge [mm] \IZ/m\IZ:=(\overline{0},\overline{1}...\overline{m-1})
[/mm]
Aber nach meinem Verständnis müsste das nciht bedeuten das sich [mm] \IZ/m\IZ [/mm] kürzt zu 1/m und dass ist dann doch (1,1/2,1/3...)
wie kann ich mir denn [mm] das\IZ/m\IZ [/mm] vorstellen ??
Danke für eure Hilfe^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich stelle Dir die Restklassen beispielhaft vor.
Wir betrachten mal die Restklassen modulo 5.
Es gibt derer fünf Stück, die Restklassen [mm] \overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}.
[/mm]
Die Restklasse [mm] \overline{0} [/mm] ist die Menge, welche all die ganzen Zahlen enthält, die bei Division durch 5 den Rest 0 lassen.
Es ist also [mm] \overline{0}=\{...,-10, -5, 0, 5, 10, ...\}.
[/mm]
Die Restklasse [mm] \overline{1} [/mm] ist die Menge, welche all die ganzen Zahlen enthält, die bei Division durch 5 den Rest 1 lassen.
Es ist also [mm] \overline{0}=\{...,-9, -4, 1, 6, 11, ...\}.
[/mm]
Die anderen Restklassen modulo 5 kannst Du Dir nun selbst überlegen, ebenso, warum [mm] \IZ [/mm] die Vereinigung dieser 5 Restklassen ist.
Die Menge, die alle Restklassen modulo 5 enthält, also die Menge [mm] \{\overline{0}, \overline{1},\overline{2},\overline{3}, \overline{4}\}, [/mm] bezeichnet man mit [mm] \IZ/ 5\IZ.
[/mm]
(Es ist eine Menge von Mengen.)
Auf der Menge [mm] \IZ/ 5\IZ:=\{\overline{0}, \overline{1},\overline{2},\overline{3}, \overline{4}\} [/mm] kann man nun eine Addition +_{5} erklären so, wie Du es in Deinem Post schreibst.
Auch dies beispielhaft: es ist [mm] \overline{2}+_{5}\overline{4}=\overline{2+4}= \overline{1*5+1}=\overline{1}.
[/mm]
Vielleicht machst Du Dir selbst jetzt noch ein paar kleine Additionsaufgaben, und danach kannst Du Dir die Sache beispielsweise mal für die Restklassen modulo 8 überlegen.
Soweit erstmal als erste Hilfe, damit Du überhaupt ansatzweise eine Vorstellung bekommst.
Du könntest als nächstes das, was ich Dir hier sage, mit dem in der VL Aufgeschriebenen vergleichen.
Gruß v. Angela
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danke für deine schnelle hilfe
aber ich habe die addition in deinem beispiel nciht ganz verstanden
$ [mm] \overline{2}+_{5}\overline{4}=\overline{2+4}= \overline{1\cdot{}5+1}=\overline{1}. [/mm] $
Also du addierst 2+4=6 und diese zahl teilen wir durch 5 und ordnen wir damit also in die Restklasse 1 ein da 1:=6 mod 5
oder habe ich das falsch verstadnen?
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Hallo
> danke für deine schnelle hilfe
>
> aber ich habe die addition in deinem beispiel nciht ganz
> verstanden
>
> [mm]\overline{2}+_{5}\overline{4}=\overline{2+4}= \overline{1\cdot{}5+1}=\overline{1}.[/mm]
>
> Also du addierst 2+4=6 und diese zahl teilen wir durch 5
> und ordnen wir damit also in die Restklasse 1 ein da 1:=6
> mod 5
> oder habe ich das falsch verstadnen?
Ne ne, das haste schon richtig verstanden. 6 ergibt bei Division durch 5 den Rest 1, somit gehört es zu der Restklasse [mm]\overline{1}[/mm] in [mm]\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[/mm]
Grüsse, Amaro
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