Menge der reellen Zahlen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \bigcup_{k=1}^{\infty}M_k [/mm] mit [mm] M_k [/mm] := {-k,-(k-1)),...;0,1,2,3,...} |
Wie bestimme ich davon die Menge? Beziehungsweise wie schreibe ich das auf?
Die Menge davon sind alle reellen Zahlen beginnend ab k=1 oder?
Bitte um Hilfe!
Ich habe diese Frage nur in diesem Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt!
|
|
| |
|
> [mm]\bigcup_{k=1}^{\infty}M_k[/mm] mit [mm]M_k[/mm] :=
> {-k,-(k-1)),...;0,1,2,3,...}
> Wie bestimme ich davon die Menge? Beziehungsweise wie
> schreibe ich das auf?
> Die Menge davon sind alle reellen Zahlen beginnend ab k=1
> oder?
Hallo,
ganz gewiß nicht. es ist doch z.B. [mm] \wurzel{2}nicht [/mm] in Deiner Menge.
Die [mm] M_k [/mm] sind doch Teilmengen der ganzen Zahlen.
Wie kommst Du auf "ab k=1"?
Es ist [mm]\bigcup_{k=1}^{\infty}M_k[/mm] doch die Vereinigung sämtlicher [mm] M_k, [/mm] also
[mm]\bigcup_{k=1}^{\infty}M_k[/mm] [mm] =M_1\cup M_2\cup M_3\cup M_4 \cup [/mm] ....
Es werden also all diese Mengen zusammengeschüttelt zu einer.
Was erhältst Du also?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo angela.
Du bist mir heute echt ne große Hilfe!
Ich meinte die ganzen Zahlen, nicht die reelen Zahlen! Verschrieben, sorry....
Die Menge ist demnach die Menger aller ganzen Zahlen [mm] +\infty [/mm]
Aber ich weiß nicht wie ich das aufschreiben soll! Ich komme mit dieser Schreibweise nicht so gut klar, ich muss mich a aber irgendwie erstmal reinfuchsen!:))
|
|
|
| |
|
> Die Menge ist demnach die Menger aller ganzen Zahlen [mm]+\infty[/mm]
Hallo,
[mm] \infty [/mm] gehört nicht dazu.
Diese Vereinigung von 1 bis [mm] \infty [/mm] bedeutet, daß man immer weiter vereinigt, also eine unendliche Vereinigung.
Deine Mengen [mm] M_k [/mm] werden mit größer werdendem k immer "größer", aber ein Element [mm] \infty [/mm] taucht niemals auf.
Man erhält [mm] \IZ.
[/mm]
Die zu beweisende Aussage ist also
Behauptung: [mm] \IZ=\bigcup_{k=1}^{\infty}M_k.
[/mm]
Zu beweisen ist also die Gleichheit zweier Mengen.
Dies tut man, indem man nachweist, daß jede Teilmenge der anderen ist.
Zu zeigen ist also
i) [mm] \IZ\subseteq\bigcup_{k=1}^{\infty}M_k
[/mm]
[mm] ii)\bigcup_{k=1}^{\infty}M_k\subseteq \IZ
[/mm]
Teilmengenbeziehungen zeigt man elementweise: man zeigt, daß jedes Element der einen Menge auch in der anderen liegt.
Also mußt Du vorrechnen, daß gilt:
i)' [mm] x\in \IZ [/mm] ==> [mm] x\in \bigcup_{k=1}^{\infty}M_k
[/mm]
[mm] ii')\bigcup_{k=1}^{\infty}M_k [/mm] ==> [mm] x\in \IZ
[/mm]
Beweis:
zu ii')
Sei [mm] x\in \IZ [/mm] .
Du könntest jetzt eine Fallunterscheidung zwischen nichtnegativen und negativem x machen, zeigen daß Du jeweils ein [mm] M_k [/mm] findest, in welchem Dein x drinliegt.
Dann kannst Du schließen, daß es erst recht in der Vereinigung liegt.
zu ii')
Wenn Dein x in der Vereinigung liegt, dann gibt es ein [mm] n\in \IN [/mm] so, daß x in [mm] M_k [/mm] liegt. Nun überlege Dir, warum daraus folgt, daß es in [mm] \IZ [/mm] ist.
>
> Aber ich weiß nicht wie ich das aufschreiben soll! Ich
> komme mit dieser Schreibweise nicht so gut klar, ich muss
> mich a aber irgendwie erstmal reinfuchsen!:))
Ja, deshalb hast Du diese Aufgabe auch. Du sollst üben mit den Schreibweisen und Definitionen umzugehen. Doie Aussage als solche ist ja nicht so der Hammer.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Vielen vielen Dank!
So als neuling ist das alles im vergleich zur Schulmathe doch recht "anders"
Ist es wirklich nötig dieses zu beweisen? es hieß ja nur: Bestimme die folgende Menge. okay.. ich werde jetzt versuchen den kompletten Beweis aufzustellen.
Vielleicht kann ich ihn ja dann noch einmal hier posten!
und nochmal - Vielen Dank!!
|
|
|
| |
|
> Vielen vielen Dank!
> So als neuling ist das alles im vergleich zur Schulmathe
> doch recht "anders"
>
> Ist es wirklich nötig dieses zu beweisen?
Hallo,
ich würde sagen: ja.
Du willst deine Chefs doch davon überezugen, daß es stimmt, was Du behauptest.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Ich weiß leider nicht, wie ich zeigen sll, dass x in [mm] M_k [/mm] liegt. Ich weiß was gemeint ist, ich habe aber keine Ahnung wie man das ausdrückt. Ich habe ja bisher noch nie ein richtiges Beispiel in dieser Schreibweise gehabt.
Aber vielen Dank für deine Hilfe :)
|
|
|
|
