Menge der tenären Relationen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | $A$ sei eine Menge mit $|A| = 10$. Wie viele ternäre Relationen gibt es auf $A$? |
| Aufgabe 2 | | $B$ sei eine Menge mit $|B| = 7$. Wie viele surjektive (injektive) Abbildungen $f : B [mm] \to \{1, 2, 3\}$ [/mm] gibt es? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
anbei die beiden Aufgaben mit fehlt der rechte Ansatz.
Vor allem bei Aufgabe zwei weiß ich nicht wie ich den Umstand der surjektivität einfliessen lassen soll (ich vermute mal das es was in Richtung n über k ist).
Danke und Gruß,
Pelle
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Hallo Pelle,
also eine ternaere Relation ueber einer Menge A ist ja wohl nichts anderes als eine
Teilmenge [mm] R\subseteq A\times A\times [/mm] A = [mm] A^3.
[/mm]
Fuer beliebige Mengen B (sagen wir mal hier: B endlich, ansonsten stimmt es auch, aber
man muss die Schreibweise dann viel sorgfaeltiger definieren -
dies als Anlass zu einem Gruss an alle Freunde der Kardinalzahlarithmetik !!!! -)
ist die Anzahl der Teilmengen von B gleich [mm] 2^{|B|}, [/mm] und mit [mm] |A^3|=|A|^3
[/mm]
ergibt sich fuer Dich die Anzahl der tern. relationen ueber A als
[mm] 2^{|A|^3} [/mm] = [mm] 2^{10^3}=2^{1000}
[/mm]
Zum zweiten Teil:
Betrachten wir also Funktionen [mm] f\colon B\to\{1,2,3\} [/mm] mit |B|=7.
Injektive gibts ja wohl keine, da [mm] |B|=7>3\: =\: |\{1,2,3\}|.
[/mm]
Surjektive Funktionen: Es gibt [mm] 3^7 [/mm] Funktionen von B nach [mm] \{1,2,3\}. [/mm] Davon haben drei
ein Bild der Kardinalitaet 1, und wenn wir jetzt noch die Anzahl derer berechnen, die
ein Bild der Kard. 2 haben, so erhalten wir auch direkt die von Dir gesuchte Anzahl der surjektiven Funktionen.
Bild der Kardinalitaet 2: Waehle eine zweielem. Teilmenge von [mm] \{1,2,3\} [/mm] aus, da gibt es 3
Moeglichkeiten.
Waehle nun eine nichtleere Teilmenge [mm] B'\subsetneq [/mm] B aus, die auf die erste der beiden Zahlen abgebildet wird, dafuer gibt es [mm] 2^7-2 [/mm] Moeglichkeiten.
Also: Anz. surj. Fkt ist
[mm] 3^7 [/mm] - 3 - [mm] 3\cdot (2^7-2) [/mm] (hoffentlich !!!).
Viele Gruesse,
Mathias
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