Menge ist konvex und kompakt < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Mi 09.12.2015 | | Autor: | mathstu |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] symmetrisch, positiv definit [mm] (A=A^{T}, x^{T}Ax [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0) und E:={x [mm] \in \IR^{n} [/mm] : [mm] x^{T}Ax \le [/mm] 1}.
a) Zeigen Sie, dass E konvex und kompakt ist. |
Hallo,
ich habe wieder mal Probleme die Konvexität dieser Menge zu zeigen.
E ist kompakt wenn E beschränkt und abgeschlossen ist. E ist beschränkt, da 0 < [mm] x^{T}Ax \le [/mm] 1, und E ist abgeschlossen, da nach Analysis abgeschlossen genau bedeutet, dass [mm] x^{T}Ax \le [/mm] 1 gilt.
Damit E konvex ist, muss ich zeigen, dass für x,y [mm] \in [/mm] E auch z := [mm] \lambda [/mm] x + (1- [mm] \lambda)y \in [/mm] E gilt.
Für x,y [mm] \in [/mm] E gilt: [mm] x^{T}Ax \le [/mm] 1 und [mm] y^{T}Ay \le [/mm] 1.
Nun gilt: [mm] (\lambda [/mm] x + (1- [mm] \lambda)y)^{T}A(\lambda [/mm] x + (1- [mm] \lambda)y)
[/mm]
= [mm] (\lambda [/mm] xA + (1- [mm] \lambda)yA)^{T}(\lambda [/mm] x + (1- [mm] \lambda)y) [/mm] das [mm] A^{T}=A [/mm] da A symmetrisch
= [mm] \lambda x^{T}A\lambda [/mm] x + (1- [mm] \lambda)y^{T}A(1- \lambda)y
[/mm]
= [mm] \lambda^{2} x^{T}Ax [/mm] + [mm] \(1-lambda)^{2}y^{T}Ay
[/mm]
[mm] \le \lambda^{2} [/mm] + [mm] (1-lambda)^{2} [/mm] da x,y [mm] \in [/mm] E
= [mm] \lambda^{2} [/mm] + 1 - 2* [mm] \lambda [/mm] + [mm] \lambda^{2}
[/mm]
= 2* [mm] \lambda^{2} [/mm] - 2* [mm] \lambda [/mm] + 1
[mm] \le [/mm] 1 da [mm] \lambda^{2} \le \lambda [/mm] da [mm] \lambda \in [/mm] [0,1].
[mm] \Rightarrow [/mm] z [mm] \in [/mm] E
[mm] \Rightarrow [/mm] E ist konvex
Habe ich mich da irgendwo vertan oder stimmt das so?
MfG, mathstu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mi 09.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei A [mm]\in \IR^{nxn}[/mm] symmetrisch, positiv definit
> [mm](A=A^{T}, x^{T}Ax[/mm] > 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0) und E:={x [mm]\in \IR^{n}[/mm]
> : [mm]x^{T}Ax \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}.
> a) Zeigen Sie, dass E konvex und kompakt ist.
> Hallo,
>
> ich habe wieder mal Probleme die Konvexität dieser Menge
> zu zeigen.
>
> E ist kompakt wenn E beschränkt und abgeschlossen ist. E
> ist beschränkt, da 0 < [mm]x^{T}Ax \le[/mm] 1, und E ist
> abgeschlossen, da nach Analysis abgeschlossen genau
> bedeutet, dass [mm]x^{T}Ax \le[/mm] 1 gilt.
Unsinn !
Zur Beshränktheit: zeige, dass es ein c>0 gibt mit
$||x|| [mm] \le [/mm] c$ für alle $x [mm] \in [/mm] E$.
Zur Abgeschlosenheit: da hast Du 2 Möglichkeiten:
Zeige, dass das Komplement von E offen ist
oder
Zeige: ist [mm] (x_j) [/mm] eine konvergente Folge in E, so ist auch [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}x_j \in [/mm] E.
> Damit E konvex ist, muss ich zeigen, dass für x,y [mm]\in[/mm] E
> auch z := [mm]\lambda[/mm] x + (1- [mm]\lambda)y \in[/mm] E gilt.
> Für x,y [mm]\in[/mm] E gilt: [mm]x^{T}Ax \le[/mm] 1 und [mm]y^{T}Ay \le[/mm] 1.
>
> Nun gilt: [mm](\lambda[/mm] x + (1- [mm]\lambda)y)^{T}A(\lambda[/mm] x + (1-
> [mm]\lambda)y)[/mm]
> = [mm](\lambda[/mm] xA + (1- [mm]\lambda)yA)^{T}(\lambda[/mm] x + (1-
> [mm]\lambda)y)[/mm] das [mm]A^{T}=A[/mm] da A symmetrisch
> = [mm]\lambda x^{T}A\lambda[/mm] x + (1- [mm]\lambda)y^{T}A(1- \lambda)y[/mm]
>
> = [mm]\lambda^{2} x^{T}Ax[/mm] + [mm]\(1-lambda)^{2}y^{T}Ay[/mm]
> [mm]\le \lambda^{2}[/mm] + [mm](1-lambda)^{2}[/mm] da x,y [mm]\in[/mm] E
> = [mm]\lambda^{2}[/mm] + 1 - 2* [mm]\lambda[/mm] + [mm]\lambda^{2}[/mm]
> = 2* [mm]\lambda^{2}[/mm] - 2* [mm]\lambda[/mm] + 1
> [mm]\le[/mm] 1 da [mm]\lambda^{2} \le \lambda[/mm] da [mm]\lambda \in[/mm] [0,1].
Das ist fehlerhaft und völlig chaotisch aufgeschrieben ! Schreib das sauber auf, dann gebe ich Kommentare ab.
FRED
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> [mm]\Rightarrow[/mm] z [mm]\in[/mm] E
> [mm]\Rightarrow[/mm] E ist konvex
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> Habe ich mich da irgendwo vertan oder stimmt das so?
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> MfG, mathstu
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mi 09.12.2015 | | Autor: | mathstu |
Ich verstehe nicht genau wie ich [mm] \parallel x\parallel [/mm] betrachten soll, ich weiß ja nur, dass gilt [mm] x^{T}Ax\le1 [/mm] aber was sagt mir das über [mm] \parallel x\parallel [/mm] ?
Das Komplement von E ist offen, da man zu jedem y [mm] \in \IR^{n}\backslash [/mm] E (ich kriege das E nicht in die Formel rein) so dass [mm] K_{\epsilon}(y) \in \IR^{n}\backslash [/mm] E für beliebiges [mm] \epsilon>0 [/mm] gilt. Ist das der richtige Ansatz?
Damit E konvex ist, muss ich zeigen, dass für [mm] x,y\in [/mm] E (ich kriege das E wieder nicht in die Formel rein) auch [mm] z:=\lambda*x+(1-\lambda)*y \in [/mm] E gilt.
Für [mm] x,y\in [/mm] E gilt: [mm] x^{T}Ax\le1 [/mm] und [mm] y^{T}Ay\le1.
[/mm]
Nun gilt:
[mm] (\lambda*x+(1-\lambda)*y)^{T}A(\lambda*x+(1-\lambda)*y)
[/mm]
[mm] =(\lambda*xA+(1-\lambda)*yA)^{T}(\lambda*x+(1-\lambda)*y) [/mm] das [mm] A^{T}=A [/mm] da A symmetrisch
[mm] =\lambda*x^{T}A\lambda*x+(1-\lambda)*y^{T}A(1-\lambda)*y
[/mm]
[mm] =\lambda^{2}*x^{T}Ax+(1-\lambda)^{2}*y^{T}Ay
[/mm]
[mm] \le\lambda^{2}+(1-\lambda)^{2} [/mm] da [mm] x,y\in [/mm] E
=1 da [mm] \lambda^{2}\le\lambda [/mm] da [mm] \lambda \in[0,1].
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Mi 09.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe nicht genau wie ich [mm]\parallel x\parallel[/mm]
> betrachten soll, ich weiß ja nur, dass gilt [mm]x^{T}Ax\le1[/mm]
> aber was sagt mir das über [mm]\parallel x\parallel[/mm] ?
Da müssen wir wohl bei Adam und Eva anfangen....
Sei [mm] B:=\{y \in \IR^n: ||y|| \le 1\} [/mm] und $f(y):=y^TAy $ für y [mm] \in [/mm] B.
B ist kompakt und f ist auf B stetig, also ex.
[mm] \gamma:= [/mm] min [mm] \{f(y):y \in B\}
[/mm]
Da A posituv definit ist, ist [mm] \gamma [/mm] >0.
Nun nehmen wir an , die Menge E sei nicht beschränkt. Zu jedem m [mm] \in \IN [/mm] gibt es dann ein [mm] x_m \in [/mm] E mit [mm] ||x_m||>m.
[/mm]
Dann ist [mm] y_m:=\bruch{x_m}{||x_m||} \in [/mm] B, also folgt
[mm] \gamma \le f(y_m)=y_m^TAy_m=\bruch{1}{||x_m||^2}x_m^TAx_m \le \bruch{1}{||x_m||^2} \le \bruch{1}{m^2} [/mm] für alle m [mm] \in \IN.
[/mm]
Also: [mm] \gamma \le \bruch{1}{m^2} [/mm] für alle m [mm] \in \IN.
[/mm]
Geht das gut ??
>
> Das Komplement von E ist offen, da man zu jedem y [mm]\in \IR^{n}\backslash[/mm]
> E (ich kriege das E nicht in die Formel rein) so dass
> [mm]K_{\epsilon}(y) \in \IR^{n}\backslash[/mm] E für beliebiges
> [mm]\epsilon>0[/mm] gilt. Ist das der richtige Ansatz?
Auaa ! Warum legst Du Dir die Definitionen nicht bereit, die Du bei dieser Aufgabe benötigst ?
Nennen wir das Komplement von E einfach K, also [mm] $K=\IR^n \setminus [/mm] E$
Wenn Du zeigen möchtest, dass K offen ist, so musst Du zeigen:
zu jedem z [mm] \in [/mm] K gibt es ein [mm] \epsilon [/mm] (= [mm] \epsilon(z)) [/mm] >0 mit [mm] K_{\epsilon}(z) \in [/mm] K.
>
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> Damit E konvex ist, muss ich zeigen, dass für [mm]x,y\in[/mm] E
> (ich kriege das E wieder nicht in die Formel rein) auch
> [mm]z:=\lambda*x+(1-\lambda)*y \in[/mm] E gilt.
> Für [mm]x,y\in[/mm] E gilt: [mm]x^{T}Ax\le1[/mm] und [mm]y^{T}Ay\le1.[/mm]
>
> Nun gilt:
> [mm](\lambda*x+(1-\lambda)*y)^{T}A(\lambda*x+(1-\lambda)*y)[/mm]
> [mm]=(\lambda*xA+(1-\lambda)*yA)^{T}(\lambda*x+(1-\lambda)*y)[/mm]
> das [mm]A^{T}=A[/mm] da A symmetrisch
>
> [mm]=\lambda*x^{T}A\lambda*x+(1-\lambda)*y^{T}A(1-\lambda)*y[/mm]
> [mm]=\lambda^{2}*x^{T}Ax+(1-\lambda)^{2}*y^{T}Ay[/mm]
> [mm]\le\lambda^{2}+(1-\lambda)^{2}[/mm] da [mm]x,y\in[/mm] E
> =1 da [mm]\lambda^{2}\le\lambda[/mm] da [mm]\lambda \in[0,1].[/mm]
Da oben hast Du wieder einen Summanden, nämlich
[mm] $\lambda(1-\lambda)x^TAy$
[/mm]
verloren.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mi 09.12.2015 | | Autor: | mathstu |
> > Damit E konvex ist, muss ich zeigen, dass für [mm]x,y\in[/mm] E
> > (ich kriege das E wieder nicht in die Formel rein) auch
> > [mm]z:=\lambda*x+(1-\lambda)*y \in[/mm] E gilt.
> > Für [mm]x,y\in[/mm] E gilt: [mm]x^{T}Ax\le1[/mm] und [mm]y^{T}Ay\le1.[/mm]
> >
Nun gilt:
[mm] (\lambda*x+(1-\lambda)*y)^{T}A(\lambda*x+(1-\lambda)*y)
[/mm]
[mm] =(\lambda*xA+(1-\lambda)*yA)^{T}(\lambda*x+(1-\lambda)*y) [/mm] es gilt [mm] A^{T}=A, [/mm] da A symmetrisch
[mm] =\lambda*x^{T}A\lambda*x+\lambda*x^{T}A(1-\lambda)*y+(1-\lambda)*y^{T}A\lambda*x+(1-\lambda)*y^{T}A(1-\lambda)*y
[/mm]
[mm] =\lambda^{2}x^{T}Ax+(1-\lambda)^{2}y^{T}Ay+\lambda*(1-\lambda)*x^{T}A*y+\lambda*(1-\lambda)*y^{T}Ax
[/mm]
[mm] \le\lambda^{2}+(1-\lambda)^{2}+\lambda*(1-\lambda)[x^{T}A*y+y^{T}Ax]
[/mm]
[mm] \le2+\lambda*(1-\lambda)[x^{T}A*y+y^{T}Ax]
[/mm]
Wie kann ich das durch 1 abschätzen? Oder ist noch immer ein Fehler drin?
MfG, mathstu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Mi 09.12.2015 | | Autor: | mathstu |
Ich hab's gelöst! Habe die Konvexität auch mit Hilfe der Norm gelöst und die Abgeschlossenheit mit einem Widerspruchsbeweis über den Limes gezeigt.
Danke für Deine Hilfe, das hat mir beim Lösen der Aufgabe sehr geholfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:33 Do 10.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab's gelöst! Habe die Konvexität auch mit Hilfe der
> Norm gelöst und die Abgeschlossenheit mit einem
> Widerspruchsbeweis über den Limes gezeigt.
Lass uns an Deinen Erfolgen teilhaben !
FRED
> Danke für Deine Hilfe, das hat mir beim Lösen der
> Aufgabe sehr geholfen.
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