Menge kompakt/zusammenhängend < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
kaum hat das Semester begonnen, muss ich bei der Wiederholung aus Analysis I/II schon wieder passen.
Und zwar geht es um folgendes:
Gegeben ist ein normierter Vektorraum (V, [mm] \parallel \* \parallel [/mm] ) und M [mm] \subset [/mm] V. Ich soll nun begründet entscheiden, ob M kompakt und/oder zusammenhängend ist... Das konnte ich leider noch nie wirklich und wahrscheinlich ist es nun an der Zeit, dass ich es langsam mal verstehen sollte, weil ich ja anscheinend nicht drum herum komme ;)
Ich würde mich also sehr freuen, wenn mir jemand helfen würde, das ganze einigermaßen zu verstehen...
Als erstes etwas, was eigentlich recht einfach sein sollte... jedenfalls sieht es nicht allzu kompliziert aus...
[mm] V=(\IR^2, \parallel \* \parallel_2 [/mm] ) , M={x [mm] \in \IZ^2, \parallel \* \parallel_2 [/mm] <2}
Ich habe mir dazu zunächst überlegt, wie ich meine Menge anders aufschreiben kann... Und zwar
M= { x [mm] \in \IZ^2, \parallel \* \parallel_2 [/mm] <2 }= { [mm] \vektor{x_1 \\ x_2}, \wurzel{x_1^2+x_2^2}<2 [/mm] } = { [mm] \vektor{x_1 \\ x_2}, x_1^2+x_2^2<4 [/mm] }
Kompakt bedeutet ja abgeschlossen und beschränkt. Ich hätte gesagt, dass die Menge M beschränkt ist, da sie ja nur bestimmte x [mm] \in \IZ^2 [/mm] enthält, nämlich genau (ich hoffe ich vergesse jetzt nichts...) [mm] \vektor{1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1}, \vektor{-1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 2}, \vektor{2 \\ 0}, \vektor{0 \\ -2}, \vektor{-2 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1} [/mm]
Oder ist das, was ich gerade gezeigt habe die Abgeschlossenheit?
Wie zeige/begründe ich, ob die Menge zusammenhängend ist oder nicht?
Vielleicht gibt es ja jemanden hier, der mir helfen kann...
Vielen Dank schonmal im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> Kompakt bedeutet ja abgeschlossen und beschränkt. Ich
> hätte gesagt, dass die Menge M beschränkt ist, da sie ja
> nur bestimmte x [mm]\in \IZ^2[/mm] enthält, nämlich genau (ich
> hoffe ich vergesse jetzt nichts...) [mm]\vektor{1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1}, \vektor{-1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 2}, \vektor{2 \\ 0}, \vektor{0 \\ -2}, \vektor{-2 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1}[/mm]
> Oder ist das, was ich gerade gezeigt habe die
> Abgeschlossenheit?
Hallo Pia,
Du hast gezeigt, daß $M$ endlich ist. Und jetzt kannst Du Dir mit Heine-Borel sicher klar machen, daß endliche metrische Räume kompakt sind.
> Wie zeige/begründe ich, ob die Menge zusammenhängend ist
> oder nicht?
Beachte, daß jede Teilmenge von $M$ in $M$ offen ist. Und hieraus kannst Du ableiten, daß $M$ nicht zusammenhängend ist.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 14.04.2013 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank erstmal für die Antwort!
>
> Hallo Pia,
>
> Du hast gezeigt, daß [mm]M[/mm] endlich ist.
> Und jetzt kannst Du
> Dir mit Heine-Borel sicher klar machen, daß endliche
> metrische Räume kompakt sind.
Also laut Heine-Borel weiß ich:
M ist genau dann kompakt, wenn gilt: Jede offene Überdeckung [mm] (U_i)_{i\in I} [/mm] von M besitzt eine endliche Teilüberdeckung.
Das ist vermutlich das, was ich nun brauche, oder?
Ich kann allerdings leider mit dieser Aussage nicht ganz so viel anfangen... Also mir ist klar, dass wenn ich zeige, dass jede offene Überdeckung [mm] (U_i)_{i\in I} [/mm] von M eine endliche Teilüberdeckung besitzt, weiß, dass M kompakt ist. Allerdings weiß ich nicht so ganz, wie ich das zeigen kann.
Also ich habe ja gezeigt, das M endlich ist, kann ich das dann komplett als Teilüberdeckung ansehen? Und was genau kann ich unter den offenen Überdeckungen [mm] (U_i)_{i\in I} [/mm] von M verstehen?
Also irgendwie scheitert es schon ein wenig beim Verständnis des Satzes an sich...
> > Wie zeige/begründe ich, ob die Menge zusammenhängend
> ist
> > oder nicht?
>
> Beachte, daß jede Teilmenge von [mm]M[/mm] in [mm]M[/mm] offen ist. Und
> hieraus kannst Du ableiten, daß [mm]M[/mm] nicht zusammenhängend
> ist.
Ich habe jetzt hierzu folgende Definition gefunden.
Eine Teilmenge M von V heißt unzusammenhängend, wenn gilt: Es gibt offene, nichtleere [mm] U_1, U_2 \subset [/mm] V, so dass [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] = [mm] \emptyset, [/mm] M keine Teilmenge von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] und M [mm] \subset U_1 \cup U_2.
[/mm]
Dazu habe ich mir überlegt:
Sei [mm] U_1 [/mm] = { [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1}, \vektor{1 \\ -1}, \vektor{-1 \\ 1} [/mm] } und [mm] U_2= [/mm] { [mm] \vektor{1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 0} [/mm] }, also [mm] U_1, U_2 \subset [/mm] V und nichtleer. Da [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] = [mm] \emptyset, [/mm] M keine Teilmenge von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] und M [mm] \subset U_1 \cup U_2 [/mm] folgt M ist nicht zusammenhängend.
Kann ich das so machen bzw. ist das so richtig?
Viele Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Mo 15.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank erstmal für die Antwort!
>
> >
> > Hallo Pia,
> >
> > Du hast gezeigt, daß [mm]M[/mm] endlich ist.
> > Und jetzt kannst Du
> > Dir mit Heine-Borel sicher klar machen, daß endliche
> > metrische Räume kompakt sind.
>
> Also laut Heine-Borel weiß ich:
> M ist genau dann kompakt, wenn gilt: Jede offene
> Überdeckung [mm](U_i)_{i\in I}[/mm] von M besitzt eine endliche
> Teilüberdeckung.
>
> Das ist vermutlich das, was ich nun brauche, oder?
> Ich kann allerdings leider mit dieser Aussage nicht ganz so
> viel anfangen... Also mir ist klar, dass wenn ich zeige,
> dass jede offene Überdeckung [mm](U_i)_{i\in I}[/mm] von M eine
> endliche Teilüberdeckung besitzt, weiß, dass M kompakt
> ist. Allerdings weiß ich nicht so ganz, wie ich das zeigen
> kann.
> Also ich habe ja gezeigt, das M endlich ist, kann ich das
> dann komplett als Teilüberdeckung ansehen? Und was genau
> kann ich unter den offenen Überdeckungen [mm](U_i)_{i\in I}[/mm]
> von M verstehen?
Das bedeutet: alle [mm] U_i [/mm] sind offen und M [mm] \subseteq \bigcup_{i \in I}^{}U_i
[/mm]
Jetzt mußt Du zeigen, dass es eine endliche Teilmenge J von I gibt mit:
M [mm] \subseteq \bigcup_{i \in J}^{}U_i.
[/mm]
Aber das ist doch fast trivial, denn Deine Menge M ist endlich !
> Also irgendwie scheitert es schon ein wenig beim
> Verständnis des Satzes an sich...
>
> > > Wie zeige/begründe ich, ob die Menge zusammenhängend
> > ist
> > > oder nicht?
> >
> > Beachte, daß jede Teilmenge von [mm]M[/mm] in [mm]M[/mm] offen ist. Und
> > hieraus kannst Du ableiten, daß [mm]M[/mm] nicht zusammenhängend
> > ist.
>
> Ich habe jetzt hierzu folgende Definition gefunden.
> Eine Teilmenge M von V heißt unzusammenhängend, wenn
> gilt: Es gibt offene, nichtleere [mm]U_1, U_2 \subset[/mm] V, so
> dass [mm]U_1 \cap U_2[/mm] = [mm]\emptyset,[/mm] M keine Teilmenge von [mm]U_1[/mm]
> und [mm]U_2[/mm] und M [mm]\subset U_1 \cup U_2.[/mm]
>
> Dazu habe ich mir überlegt:
> Sei [mm]U_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1}, \vektor{1 \\ -1}, \vektor{-1 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } und [mm]U_2=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\vektor{1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }, also [mm]U_1, U_2 \subset[/mm] V und nichtleer. Da [mm]U_1 \cap U_2[/mm] =
> [mm]\emptyset,[/mm] M keine Teilmenge von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] und M [mm]\subset U_1 \cup U_2[/mm]
> folgt M ist nicht zusammenhängend.
>
> Kann ich das so machen bzw. ist das so richtig?
Nein. Deine Mengen [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] sind doch nicht offen !
FRED
>
> Viele Grüße!
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 So 14.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] M=\{x_1,...,x_n\} [/mm] eine endliche Teilmenge von V.
1. M ist beschränkt, es gibt als ein c>0 mit [mm] ||x_k||_2 \le [/mm] c für k=1,...,n.
Bestimme mal ein geeignetes c.
2. Sei M' die Menge der Häufungspunkte von M. M ist genau dann abgeschlossen, wenn M' [mm] \subset [/mm] M ist.
Begründe nun, dass M keine Häufungspunkt hat. Begründe damit, dass M abgeschlossen ist.
3. Ist n>1, so kann M nicht zusammenhängend sein .
Welche Def. von "zusammenhängend" hattet Ihr ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:56 So 14.04.2013 | | Autor: | Pia90 |
Auch dir erstmal vielen Dank!
> Sei [mm]M=\{x_1,...,x_n\}[/mm] eine endliche Teilmenge von V.
>
> 1. M ist beschränkt, es gibt als ein c>0 mit [mm]||x_k||_2 \le[/mm]
> c für k=1,...,n.
>
> Bestimme mal ein geeignetes c.
In dem Fall wäre ein geeignetes c doch bereits 2, oder? Denn in der Mengendefinition steckt ja bereits drin, dass [mm] ||x||_2 [/mm] < 2 ist, oder sehe ich das falsch?
>
> 2. Sei M' die Menge der Häufungspunkte von M. M ist genau
> dann abgeschlossen, wenn M' [mm]\subset[/mm] M ist.
>
> Begründe nun, dass M keine Häufungspunkt hat. Begründe
> damit, dass M abgeschlossen ist.
Hm... Hiermit komm ich noch nicht so ganz klar... Also irgendwie weiß ich nicht, wie ich begründen soll, dass M keine Häufungspunkte hat...
Wenn ich dann davon ausgehe, dass M keine Häufungspunkte hat, dann ist M' = [mm] \emptyset.
[/mm]
>
> 3. Ist n>1, so kann M nicht zusammenhängend sein .
>
> Welche Def. von "zusammenhängend" hattet Ihr ?
Wir hatten folgende Definition:
Es sei (V, || [mm] \* [/mm] || ) ein normierter VR. Eine Teilmenge M von V heißt unzusammenhängend, wenn gilt: Es gibt offene, nichtleere [mm] U_1, U_2 \subset [/mm] V, so dass [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] = [mm] \emptyset, [/mm] M keine Teilmenge von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] und M [mm] \subset U_1 \cup U_2. [/mm] Ansonsten heißt M zusammenhängend.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 16.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
