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Hallo Zusammen,
Muß für jede Folge [mm]\left(y_n\right)[/mm] der Menge [mm]S\![/mm] aller konvergenten Folgen mit [mm]S\subset\mathbb{R}\setminus\{x\}[/mm] mit [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] gelten [mm]y_n\ne x[/mm]? Ich frage mich nämlich, was passiert, wenn irgendeine Folge z.B. von links gegen [mm]y\![/mm] konvergiert und dabei sozusagen "an [mm]x\![/mm] vorbeilaufen" muß, da [mm]y_0 < x < y[/mm]?
Grüße
Karl
P.S. Ich brauche diese Überlegung für die Stetigkeit von [mm]f(x):=\tfrac{1}{x}[/mm].
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 So 08.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Karl,
> Muß für jede Folge [mm]\left(y_n\right)[/mm] der Menge [mm]S\![/mm] aller
> konvergenten Folgen mit [mm]S\subset\mathbb{R}\setminus\{x\}[/mm]
was ist nun S?
Ist S die Menge aller konvergenten Folgen oder ist S eine Teilmenge der reellen Zahlen?
> mit [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] gelten [mm]y_n\ne x[/mm]? Ich frage mich nämlich,
> was passiert, wenn irgendeine Folge z.B. von links gegen
> [mm]y\![/mm] konvergiert und dabei sozusagen "an [mm]x\![/mm] vorbeilaufen"
> muß, da [mm]y_0 < x < y[/mm]?
Ich habe die Frage zwar nicht ganz verstanden, aber vielleicht hilft dir folgendes:
Das Konvergenzverhalten einer Folge ändert sich nicht, wenn du eine endliche Anzahl von Folgegliedern streichst.
Betrachte die Definition der Folgenkonvergenz: Eine Folge konvergiert genau dann gegen g, wenn in jeder (beliebig kleinen) Umgebung von g fast alle (das heißt: alle bis auf endlich viele) Glieder der Folge liegen.
> P.S. Ich brauche diese Überlegung für die Stetigkeit von
> [mm]f(x):=\tfrac{1}{x}[/mm].
Alle gebrochen rationalen Funktionen sind stetig.
Die Frage nach der Stetigkeit stellt sich nur auf dem Definitionsbereich einer Funktion.
Definitionslücken bleiben außer Betracht.
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 So 08.06.2008 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Will!
Danke für die Hilfe! Ich denke, das mit den endlich vielen Folgewerten, hört sich gut an. 
Grüße
Karl
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