Menge m. Fixpunkteigenschaft < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:45 Sa 26.05.2012 | | Autor: | WWatson |
| Aufgabe | Man zeige, dass die Menge
A := {(x,y) [mm] \in [/mm] [-1,1]x[-1,1] | xy = 0}
die Fixpunkteigenschaft besitzt. |
Hallo zusammen,
ich habe mir überlegt, dies zu zeigen, indem ich folgendes Lemma verwende:
Lemma. Sei X ein metrischer Raum und besitze X die Fixpunkteigenschaft. Sei weiterhin A [mm] \subset [/mm] X ein Retrakt von X. Dann besitzt auch A die Fixpunkteigenschaft.
Als Beispiel von Räumen mit Fixpunkteigenschaft hatten wir bisher eigentlich nur Kugeln. Ich habe mit daher überlegt, zu zeigen, dass das Koordinatenkreuz in [mm] \IR^{2} [/mm] für -1 [mm] \le [/mm] x,y [mm] \le [/mm] 1, das ja letzlich durch die Menge A beschrieben wird, Retrakt von der 2-dimensionalen Einheitskugel (also der Einheitskreisscheibe) ist.
Dazu müsste ich jetzt aber eine stetige Abb. r: X [mm] \to [/mm] A angeben, derart, dass
r(a) = a
für alle a [mm] \in [/mm] A gilt. Ich hatte mir überlegt,
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \mbox{ A} \\ 0, & \mbox{für } x \in \mbox{ D2 - A} \end{cases} [/mm]
zu definieren. Ich glaube aber, dass die Abbildung nicht stetig ist, da beispielsweise das Urbild von 0, einer abgeschlossenen Menge, ja gerade [mm] (D^{2}-A) \cup [/mm] {0} ist und diese Menge ja sicherlich nicht abgeschlossen ist, womit g aber nach topologischer Definition der Stetigkeit nicht stetig sein kann.
Hat eventuell jemand einen Tipp, wie ich diesen Ansatz retten kann, oder bin ich damit komplett auf dem Holzweg?
Viele Grüße,
WWatson
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 30.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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