Menge offen => Realteile offen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei A [mm] \subset \IC [/mm] offen und B [mm] \subset \IR [/mm] definiert durch B := [mm] \{ Re(z) : z \in A \}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass B offen ist. |
Da ich ehrlich gesagt keine Ahnung habe wie ich an die Aufgabe rangesehen soll, habe ich mir erstmal eine "Punktwolke" in [mm] \IC [/mm] gemalt, und fand die Schlussfolgerung auf den ersten Blick auch einleuchtend. Jedoch kam mir dann die Idee, dass man ja auch in [mm] \IC [/mm] eine Menge konstruieren kann bei der alle Punkte auf einer Geraden, und zwar auf einer parallel zu imaginären Achse, liegen. Somit wäre der Realteil konstant.
Ich wähle also:
A [mm] \subset \IC [/mm] := { x | x = 2 + [mm] (1-\bruch{1}{n})i [/mm] oder x = [mm] 2+(-1+\bruch{1}{n})i [/mm] }
Alle Punkte x befinden sich also auf der Linie (2,a) wobei a [mm] \in [/mm] (1,-1)
also a ist aus einem offenen Intervall.
Die Menge B besteht nun aus der konstanten Zahl 2. also aus einem isolierten Punkt und ist somit abgeschlossen.
=> Widerspruch zur Annahme!
So nun meine Fragen zu meiner Konstruktion:
Ist meine gewählte Menge in [mm] \IC [/mm] wirklich offen?
Ist ein einzelner (isolierter) Punkt abgeschlossen?
Wenn ja, liefert dann meine Ausführung einen schlüssigen Widerspruch zur Behauptung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:35 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei A [mm]\subset \IC[/mm] offen und B [mm]\subset \IR[/mm] definiert
> durch B := [mm]\{ Re(z) : z \in A \}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass B offen
> ist.
> Da ich ehrlich gesagt keine Ahnung habe wie ich an die
> Aufgabe rangesehen soll, habe ich mir erstmal eine
> "Punktwolke" in [mm]\IC[/mm] gemalt, und fand die Schlussfolgerung
> auf den ersten Blick auch einleuchtend. Jedoch kam mir dann
> die Idee, dass man ja auch in [mm]\IC[/mm] eine Menge konstruieren
> kann bei der alle Punkte auf einer Geraden, und zwar auf
> einer parallel zu imaginären Achse, liegen. Somit wäre der
> Realteil konstant.
>
> Ich wähle also:
> A [mm]\subset \IC[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { x | x = 2 + [mm](1-\bruch{1}{n})i[/mm] oder x =
> [mm]2+(-1+\bruch{1}{n})i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Alle Punkte x befinden sich also auf der Linie (2,a) wobei
> a [mm]\in[/mm] (1,-1)
> also a ist aus einem offenen Intervall.
>
> Die Menge B besteht nun aus der konstanten Zahl 2. also aus
> einem isolierten Punkt und ist somit abgeschlossen.
> => Widerspruch zur Annahme!
>
> So nun meine Fragen zu meiner Konstruktion:
>
> Ist meine gewählte Menge in [mm]\IC[/mm] wirklich offen?
Nein ! Was heißt denn "offen" ?
> Ist ein einzelner (isolierter) Punkt abgeschlossen?
Ja
FRED
> Wenn ja, liefert dann meine Ausführung einen schlüssigen
> Widerspruch zur Behauptung?
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ok ich vermute dass problem liegt daran dass [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nur isolierte punkte liefert...
trotzdem hilft mir deine antwort nur bedingt weiter. ich weiss jetzt wie ich die Aufgabe NICHT machen soll. Trotzdem habe ich immer noch keine Ahnung wie ich die Aufgabe angehen soll, oder wie ien Lösungsansatz aussehen könnte.
ich hoffe mir kann jemand auf die sprünge helfen
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Antworte doch mal auf Freds Frage. Sie ist nicht rhetorisch.
Was heißt offen?
Mit einer "Punktwolke" kommst Du nicht weiter, mit einem "Gebiet" vielleicht schon.
Grüße,
reverend
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Eine Menge heißt offen wenn sie nur innere Punkte besitzt... das ist aber bei meiner Konstruktion nicht der Fall, da sie wie gesagt aus isolierten Punkten besteht.
Anschaulich ist A also eine 2dimensionale(!) Fläche deren Rand nicht scharf abgegrenzt ist.
Daraus folgt ebenfalls anschaulich: Eine Projektion aller Punkte auf die x-Achse liefert ein offenes Intervall, welches durch die maximale horizontale Ausdehnung der 2d-Fläche begrenzt ist.
Aber das ganze jetzt mathematisch auszudrücken, daran scheitert es bei mir eben halt noch vollständig
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 10.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme an, dass zu zeigen ist: B ist offen in [mm] \IR.
[/mm]
Nimm an , dies sei nicht so, dann ex ein t [mm] \in [/mm] B mit:
[mm] (t-\delta, [/mm] t + [mm] \delta) \not\subseteq [/mm] B für jedes positive [mm] \delta.
[/mm]
Zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ex. dann ein [mm] t_n [/mm] mit:
t-1/n < [mm] t_n [/mm] < t+1/n und [mm] t_n \not\in [/mm] B.
Sei s [mm] \in \IR. [/mm] Dann
$ [mm] t_n [/mm] + is [mm] \not\in [/mm] A$ für jedes n, somit ist [mm] $t_n [/mm] + i s$ [mm] \in \IC [/mm] \ A für jedes n.
[mm] \IC [/mm] \ A ist abgeschlossen, also folgt mit n --> [mm] \infty: [/mm]
$t+i s$ [mm] \in \IC [/mm] \ A .
Da s [mm] \in \R [/mm] beliebig war , folgt: t [mm] \not\in [/mm] B, Widerspruch !!
FRED
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Vielen Dank für deine Antwort, leider verstehe ich zum Ende hin noch nicht so ganz warum das Ganze so funktioniert. Ich erläutere zunächst mal meine GEdankengänge zu deiner Lösung:
FRED > Ich nehme an, dass zu zeigen ist: B ist offen in [mm]\IR.[/mm]
Ja! Wir erhalten also z.B.: als Realteile aller imaginären Zahlen der Menge A das offene Intervall (0,2)
> Nimm an , dies sei nicht so, dann ex ein t [mm]\in[/mm] B mit:
>
Ok! Also müsse das Intervall abgeschlossen sein: [0,2]
> [mm](t-\delta,[/mm] t + [mm]\delta) \not\subseteq[/mm] B für jedes positive
> [mm]\delta.[/mm]
Wir betrachten also ein Intervall dessen Mittelpunkt entweder der rechte oder der linke Randpunkt des abgeschlossenen Intervalls [0,2]. Bei einem offenen Intervall gibt es diese Randpunkte nicht dementsprechend existiert ein solches $t$ nicht. In meinem Beispiel wäre also $t=0$ oder $t=2$
Ok!
>
> Zu jedem n [mm]\in \IN[/mm] ex. dann ein [mm]t_n[/mm] mit:
>
> t-1/n < [mm]t_n[/mm] < t+1/n und [mm]t_n \not\in[/mm] B.
>
Du grenzt also den Bereich aus dem unser [mm] $t_n$ [/mm] gewählt werden kann ein in dem du es von 2 seiten durch die funktionen $t$ [mm] \pm \bruch{1}{n} [/mm] eingrenzt.
> Sei s [mm]\in \IR.[/mm] Dann
>
> [mm]t_n + is \not\in A[/mm] für jedes n, somit ist [mm]t_n + i s[/mm] [mm]\in \IC[/mm]
> \ A für jedes n.
Da [mm] $t_n$ \not\in [/mm] B kann auch [mm] $t_n$ [/mm] + i *$s$ nicht aus der komplexen Menge $A$ kommen.
Ok!
> [mm]\IC[/mm] \ A ist abgeschlossen,
Da per Vorraussetzung A offen war ist [mm] \IC [/mm] \ $A$ abgeschlossen.
Ok!
> also folgt mit n --> [mm]\infty:[/mm]
>
> [mm]t+i s[/mm] [mm]\in \IC[/mm] \ A .
Wieso kann ich aufeinmal [mm] $t_n$ [/mm] durch $t$ ersetzen. Ich habe oben ja an Hand meines Beispieles $t=0$ bzw $t=2$ gewählt. und es gilt ja immer noch $0+is$ [mm] \in [/mm] A
> Da s [mm]\in \R[/mm] beliebig war , folgt: t [mm]\not\in[/mm] B, Widerspruch
JA eben, der schritt war doch gar nicht zulässig.
Also wenn ich deine Vorgehensweise richtig verstanden habe, hast du folgendes gemacht: Das offene Intervall (0,2) wurde abgeschlossen damit wir einen Widerspruch anbringen können: [0,2]
Nun bildest du "Randintervalle" die beliebig nah an [0,2] herankommen. also
[mm] [0-\epsilon,0)[0,2](2,2+\epsilon]. [/mm] Aus diesen Randintervallen wählen wir eine Zahl $z$. Lassen wir [mm] \epsilon [/mm] gegen 0 laufen, muss diese gewhälte Zahl $z$ immer näher an 0 bzw 2 liegen. Trotzdem gilt immer $z$ [mm] \not\in [/mm] [0,2].
Und dann folgerst du doch aus einem mir nicht näher bekannten Grund dass
0 [mm] \not\in [/mm] [0,2] und 2 [mm] \not\in [/mm] [0,2]?!?!
Dass das ein Widerspruch ist, ist mir klar, aber wie kommst du auf die Folgerung. Man kann doch auch nicht sagen dass
0 [mm] \in {\bruch{1}{n} | n \in \IN} [/mm] gilt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Antwort, leider verstehe ich zum Ende
> hin noch nicht so ganz warum das Ganze so funktioniert. Ich
> erläutere zunächst mal meine GEdankengänge zu deiner
> Lösung:
>
> FRED > Ich nehme an, dass zu zeigen ist: B ist offen in
> [mm]\IR.[/mm]
>
> Ja! Wir erhalten also z.B.: als Realteile aller imaginären
> Zahlen der Menge A das offene Intervall (0,2)
>
> > Nimm an , dies sei nicht so, dann ex ein t [mm]\in[/mm] B mit:
> >
> Ok! Also müsse das Intervall abgeschlossen sein: [0,2]
> > [mm](t-\delta,[/mm] t + [mm]\delta) \not\subseteq[/mm] B für jedes
> positive
> > [mm]\delta.[/mm]
> Wir betrachten also ein Intervall dessen Mittelpunkt
> entweder der rechte oder der linke Randpunkt des
> abgeschlossenen Intervalls [0,2]. Bei einem offenen
> Intervall gibt es diese Randpunkte nicht dementsprechend
> existiert ein solches [mm]t[/mm] nicht. In meinem Beispiel wäre also
> [mm]t=0[/mm] oder [mm]t=2[/mm]
> Ok!
>
> >
> > Zu jedem n [mm]\in \IN[/mm] ex. dann ein [mm]t_n[/mm] mit:
> >
> > t-1/n < [mm]t_n[/mm] < t+1/n und [mm]t_n \not\in[/mm] B.
> >
> Du grenzt also den Bereich aus dem unser [mm]t_n[/mm] gewählt werden
> kann ein in dem du es von 2 seiten durch die funktionen [mm]t[/mm]
> [mm]\pm \bruch{1}{n}[/mm] eingrenzt.
>
> > Sei s [mm]\in \IR.[/mm] Dann
> >
> > [mm]t_n + is \not\in A[/mm] für jedes n, somit ist [mm]t_n + i s[/mm] [mm]\in \IC[/mm]
> > \ A für jedes n.
>
> Da [mm]t_n[/mm] [mm]\not\in[/mm] B kann auch [mm]t_n[/mm] + i *[mm]s[/mm] nicht aus der
> komplexen Menge [mm]A[/mm] kommen.
> Ok!
>
> > [mm]\IC[/mm] \ A ist abgeschlossen,
>
> Da per Vorraussetzung A offen war ist [mm]\IC[/mm] \ [mm]A[/mm]
> abgeschlossen.
> Ok!
> > also folgt mit n --> [mm]\infty:[/mm]
> >
> > [mm]t+i s[/mm] [mm]\in \IC[/mm] \ A .
>
> Wieso kann ich aufeinmal [mm]t_n[/mm] durch [mm]t[/mm] ersetzen. Ich habe
> oben ja an Hand meines Beispieles [mm]t=0[/mm] bzw [mm]t=2[/mm] gewählt. und
> es gilt ja immer noch [mm]0+is[/mm] [mm]\in[/mm] A
>
> > Da s [mm]\in \R[/mm] beliebig war , folgt: t [mm]\not\in[/mm] B, Widerspruch
> JA eben, der schritt war doch gar nicht zulässig.
>
> Also wenn ich deine Vorgehensweise richtig verstanden habe,
> hast du folgendes gemacht: Das offene Intervall (0,2) wurde
> abgeschlossen damit wir einen Widerspruch anbringen können:
> [0,2]
> Nun bildest du "Randintervalle" die beliebig nah an [0,2]
> herankommen. also
> [mm][0-\epsilon,0)[0,2](2,2+\epsilon].[/mm] Aus diesen
> Randintervallen wählen wir eine Zahl [mm]z[/mm]. Lassen wir [mm]\epsilon[/mm]
> gegen 0 laufen, muss diese gewhälte Zahl [mm]z[/mm] immer näher an 0
> bzw 2 liegen. Trotzdem gilt immer [mm]z[/mm] [mm]\not\in[/mm] [0,2].
> Und dann folgerst du doch aus einem mir nicht näher
> bekannten Grund dass
> 0 [mm]\not\in[/mm] [0,2] und 2 [mm]\not\in[/mm] [0,2]?!?!
> Dass das ein Widerspruch ist, ist mir klar, aber wie
> kommst du auf die Folgerung. Man kann doch auch nicht sagen
> dass
>
> 0 [mm]\in {\bruch{1}{n} | n \in \IN}[/mm] gilt.
>
>
Was soll der Unsinn mit (0,2) ? B muß kein Intervall sein !
Ist Dir das klar ?
Mir scheint, Du weißt noch nicht einmal, was "offen" bedeutet !!!!!
B ist offen [mm] \gdw [/mm] zu jedem t [mm] \in [/mm] B ex. ein [mm] \delta [/mm] = [mm] \delta(t) [/mm] > 0 mit
[mm] (t-\delta, t+\delta) \subseteq [/mm] B
Gehe damit noch mal meine Beweis durch
FRED
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tut mir leid wenn ich "blöde" fragen stelle oder das ganze irgendwie nicht verstehe, aber auf wikipedia steht z.B.:
"Ein einfaches Beispiel einer offenen Menge ist das Intervall (0,1) in den reellen Zahlen." http://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge
Aus diesem Grund komme ich unteranderem auf den Unsinn dass B auch ein offenes Intervall ist, scheinbar ist dies aber nicht der fall. und jetzt versteh ich erst recht nicht mehr was hier überhaupt passiert.
Deine Definition: B ist offen $ [mm] \gdw [/mm] $ zu jedem t $ [mm] \in [/mm] $ B ex. ein $ [mm] \delta [/mm] $ = $ [mm] \delta(t) [/mm] $ > 0 mit
kenne ich so nicht, ich kenn nur die bereits erwähnte Definition eine Menge ist offen [mm] \gdw [/mm] Die Menge besteht nur aus inneren Punkten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> tut mir leid wenn ich "blöde" fragen stelle oder das ganze
> irgendwie nicht verstehe, aber auf wikipedia steht z.B.:
>
> "Ein einfaches Beispiel einer offenen Menge ist das
> Intervall (0,1) in den reellen Zahlen."
> http://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge
>
> Aus diesem Grund komme ich unteranderem auf den Unsinn dass
> B auch ein offenes Intervall ist, scheinbar ist dies aber
> nicht der fall. und jetzt versteh ich erst recht nicht mehr
> was hier überhaupt passiert.
B ist Vereinigung offener Intervalle
Sei z.B. [mm] A_k [/mm] die offene Kreischeibe um k mit Radius 1/4, wobei k [mm] \in \IZ
[/mm]
und A = [mm] \bigcup_{k \in \IZ}^{\infty}A_k. [/mm] Dann ist A offen.
Jetzt male Dir mal B auf. B ist dann die abzählbare Vereinigung offener Intervalle in [mm] \IR
[/mm]
>
> Deine Definition: B ist offen [mm]\gdw[/mm] zu jedem t [mm]\in[/mm] B ex. ein
> [mm]\delta[/mm] = [mm]\delta(t)[/mm] > 0 mit
>
> kenne ich so nicht, ich kenn nur die bereits erwähnte
> Definition eine Menge ist offen [mm]\gdw[/mm] Die Menge besteht nur
> aus inneren Punkten!
Mein Gott !! Und was bitteschön ist ein innerer Punkt ?????
FRED
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