Menge von Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Do 25.04.2013 | | Autor: | edding |
| Aufgabe | Definieren Sie die Zahlen [mm] a_1 [/mm] := 2 und [mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] (a_n -1)*a_n [/mm] +1 (n € [mm] \IN, n\ge1) [/mm] und betrachten Sie die Menge
[mm] M_n [/mm] := {p € [mm] \IP [/mm] |p [mm] |a_n [/mm] }
Zeigen Sie, dass [mm] U_{n€\IN , n\ge1} M_n \not= \IP [/mm] gilt, indem Sie 5 [mm] \not\ni M_n [/mm] für alle n € [mm] \IN, [/mm] n [mm] \ge1 [/mm] nachweisen |
hallo liebe leute,
also ich habe herausgefunden, dass [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] p_{n+1} [/mm] (nach dem beweis von euklid, das [mm] p_{n+1} [/mm] = [mm] p_1*p_2*....*p_n [/mm] +1)
jetzt hab ich mir gedacht, dass die 5 nie ein elemant von M ist, da keine der Zahlen [mm] a_n [/mm] durch 5 teilbar ist.
ich nehme also die gleichung [mm] a_n= [/mm] 5*b+r und zeige, dass r (rest) nie 0 wird.
um die formel zu nehmen, muss ich die per induktion beweisen?, wenn ja wie?
vielen dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Do 25.04.2013 | | Autor: | abakus |
> Definieren Sie die Zahlen [mm]a_1[/mm] := 2 und [mm]a_{n 1}[/mm] := [mm](a_n -1)*a_n[/mm]
> +1 (n € [mm]\IN, n\ge1)[/mm] und betrachten Sie die Menge
> [mm]M_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {p € [mm]\IP[/mm] |p [mm]|a_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Zeigen Sie, dass [mm]U_{n€\IN , n\ge1} M_n \not= \IP[/mm] gilt,
> indem Sie 5 [mm]\not\ni M_n[/mm] für alle n € [mm]\IN,[/mm] n [mm]\ge1[/mm]
> nachweisen
> hallo liebe leute,
>
> also ich habe herausgefunden, dass [mm]a_{n 1}[/mm] = [mm]p_{n 1}[/mm] (nach
> dem beweis von euklid, das [mm]p_{n 1}[/mm] = [mm]p_1*p_2*....*p_n[/mm] +1)
> jetzt hab ich mir gedacht, dass die 5 nie ein elemant von
> M ist, da keine der Zahlen [mm]a_n[/mm] durch 5 teilbar ist.
> ich nehme also die gleichung [mm]a_n=[/mm] 5*b+r und zeige, dass r
> (rest) nie 0 wird.
> um die formel zu nehmen, muss ich die per induktion
> beweisen?, wenn ja wie?
>
> vielen dank.
Hallo,
du sollst einfach nur zeigen, dass mit der vorgegebenen Bildungsvorschrift nie die Zahl 5 erzeugt werden kann.
Berechne mal die ersten drei Glieder (da ist 5 nicht dabei) und beweise dann, dass alle folgenden Glieder größer als 5 sind.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Do 25.04.2013 | | Autor: | edding |
hallo,
danke für deine schnelle antwort.
meinst du wirklich, dass es so gemeint ist?
sicher komme ich durch bloßem durchführens der folge nicht auf die 5, ich komme aber auf [mm] M_5 [/mm] {13,139} denn [mm] a_5=1807 [/mm] = 13*139
wer sagt denn, dass es keine folgenglieder gibt, die durch 5 teilbar sind (womit dann 5 € [mm] M_n [/mm] wäre)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Do 25.04.2013 | | Autor: | valoo |
> hallo,
> danke für deine schnelle antwort.
>
> meinst du wirklich, dass es so gemeint ist?
>
Also so wie es da steht, eher wie du meinst, dass kein Folgenglied durch 5 teilbar ist.
Dazu reicht es zu bemerken, dass sich (wenn man mod 5 rechnet) 2 und 3 immer abwechseln. Zeige, dass [mm] a_{n} [/mm] kongruent zu 3 mod 5 ist, wenn [mm] a_{n-1} [/mm] kongruent zu 2 mod 5 ist und [mm] a_{n} [/mm] kongruent zu 2 mod 5 ist, wenn [mm] a_{n-1} [/mm] zu 3 mod 5 kongruent ist.
> sicher komme ich durch bloßem durchführens der folge
> nicht auf die 5, ich komme aber auf [mm]M_5[/mm] {13,139} denn
> [mm]a_5=1807[/mm] = 13*139
> wer sagt denn, dass es keine folgenglieder gibt, die durch
> 5 teilbar sind (womit dann 5 € [mm]M_n[/mm] wäre)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:32 Sa 27.04.2013 | | Autor: | edding |
ja danke... kennst du vlt noch einen anderen ansatz?.. wir haben mod-rechnungen noch nicht in der vorlesung durchgesprochen.. ist meine idee mit der division mit rest so schlecht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Di 30.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Do 25.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> also ich habe herausgefunden, dass [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]p_{n+1}[/mm] (nach
> dem beweis von euklid, das [mm]p_{n+1}[/mm] = [mm]p_1*p_2*....*p_n[/mm] +1)
Was meinst du mit [mm] $p_{n+1}$? [/mm] Die $n+1$-te Primzahl? Oder ueberhaupt eine Primzahl? Das stimmt dann naemlich nicht (und das hat Euklid auch nicht bewiesen!).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Do 25.04.2013 | | Autor: | edding |
hmmm.. ich denke, weder noch.. denn bei [mm] p_5 [/mm] käme 1807, was keine primzahl ist, dennoch ist dies ein produkt aus 13 und 139, was beide primzahlen sind.
[mm] p_{n+1} [/mm] gibt mir entweder direkt eine weitere primzahl, oder ein produkt aus zweien.
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