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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Mi 02.01.2008 | | Autor: | batjka |
| Aufgabe | | Ich soll eine beliebige Teilmenge aus [mm] \IR [/mm] wählen. Ferner darf ich folgende Operationen verwenden: Abschluss und Komplementbildung in [mm] \IR. [/mm] Erzeuge dadurch so viele neue Mengen wie möglich. |
Hallo,
Diese Aufg. ist irgendwie zu leicht oder ich habe sie falsch verstanden.
Das Resultat hängt doch davon ab, wie groß ich die Teilmenge wähle. Wenn ich also P [mm] \subset \IR [/mm] mit P={0, 1, 2} wähle, dann sind die neuen Mengen: {0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,3},{1,3},{2,3},{3},{0,1,2,3},{0,1,3},{1,2,3},{0,2,3} und die Ausgangsmenge {0,1,2}
Oder liege ich hier falsch?
mfg batjka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Mi 02.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Ich soll eine beliebige Teilmenge aus [mm]\IR[/mm] wählen. Ferner
> darf ich folgende Operationen verwenden: Abschluss und
> Komplementbildung in [mm]\IR.[/mm] Erzeuge dadurch so viele neue
> Mengen wie möglich.
> Hallo,
>
> Diese Aufg. ist irgendwie zu leicht oder ich habe sie
> falsch verstanden.
beides!
> Das Resultat hängt doch davon ab, wie groß ich die
> Teilmenge wähle.
nur wenig... Die leere Menge und [mm] $\IR$ [/mm] selbst sind natürloch auch Teilmengen von [mm] $\IR$. [/mm] Und wenn du die wählst, dann bekommst du besonders wenige Mengen heraus.
Ansonsten ist es eigentlich egal.. es werden immer 4.
EDIT: Ich sehe gerade, daß es eine Möglichkeit gibt, noch 2 mehr zu erzeugen.
Wenn ich also P [mm]\subset \IR[/mm] mit P={0, 1,
> 2} wähle, dann sind die neuen Mengen:
> {0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,3},{1,3},{2,3},{3},{0,1,2,3},{0,1,3},{1,2,3},{0,2,3}
> und die Ausgangsmenge {0,1,2}
> Oder liege ich hier falsch?
völlig. Wo kommt die 3 denn überhaupt her?
Weißt du denn was "Abschluss" und "Komplement" sind?
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 02.01.2008 | | Autor: | batjka |
hi,
ich weiß zwar was Komplement und Abschluss ist, aber das bringt mich auch nicht weiter....wenn das Obige nicht stimmt, dann weiß ich auch nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Batjka,
Du darfst doch die neuen Mengen nur mit den Operationen "Abschluss der Menge bilden" bzw. "Komplement der Menge bilden" erzeugen.
Machen wir mal ein Beispiel:
Betrachten wir $X=(-1,1]$.
Das Komplement dieser Menge in [mm] $\IR$ [/mm] ist
[mm] $X^C=(-\infty,-1] \cup (1,\infty)$. [/mm]
Der Abschluss von $X$ ist
[mm] $\overline{X}=[-1,1]$.
[/mm]
Das Komplement des Abschlusses ist
[mm] $\overline{X}^C=(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$
[/mm]
Der Abschluss des Komplementes ist
[mm] $\overline{X^C}=(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
[/mm]
Das Komplement des bereits abgeschlossenen Komplements ist
[mm] $\overline{X^C}^C=(-1,1)$
[/mm]
.
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.
Vielleicht habe ich hier irgendwas vergessen, man muss halt alle möglichen Kombinationen durchspielen und dann zeigen, dass die Anzahl der so konstruierten Mengen, egal, wie $X [mm] \subset \IR$ [/mm] gewählt wird, eine feste Zahl $n [mm] \in \IN$ [/mm] nicht überschreiten wird. Dazu musst Du Dir ein paar Gedanken machen, z.B. wenn die Menge abgeschlossen ist, bringt Abschlußbildung nichts neues mehr. Das Komplement des Komplementes ist wieder die Ausgangsmenge etc., und es gibt gewisse Rechengesetze wie z.B.:
[mm] $\overline{X}^C=(X^C)^o$, [/mm] das heißt, das Komplement des Abschlusses ist das Innere des Komplementes (das kannst Du Dir mal behalten, brauchen wird man es hier sicherlich nicht, aber ich wollte einfach darauf aufmerksam machen, dass Du sicherlich schon gewisse "Rechengesetze" für Mengen gelernt hast, z.B. auch die de Morganschen Regeln etc., und nach solchen Aussagen kannst Du evtl. nochmal nachschlagen und gucken, ob sie Dir helfen). Du mußt halt herausfinden, nach welcher "maximalen Anzahl von Komplementbildungen+Abschlussbildungen" eigentlich keine neuen Mengen mehr erzeugt werden...
Und dabei ist's eigentlich auch nur interessant, wenn diese beiden Operationen nacheinander angewendet werden, denn der Abschluss einer abgeschlossenen Menge erzeugt nix neues, das Komplement des Komplementes einer Menge ist wieder die Menge selbst...
D.h., relevant sind nur diese Mengen:
a) $X$, [mm] $X^C$, $\overline{X^C}$, $\overline{X^C}^C$, $\overline{\overline{X^C}^C}$, [/mm] ...
bzw.
b) [mm] $\overline{X}$, $\overline{X}^C$, $\overline{\overline{X}^C}$, $\overline{\overline{X}^C}^C$, [/mm] ...
und im Falle a) erzeugt man eigentlich nur maximal eine feste endliche Anzahl verschiedener Mengen, und im Falle b) ebenso.
Z.B. wäre oben
[mm] $\overline{\overline{X^C}^C}=\overline{X}$
[/mm]
(und das gilt auch für allgemeines $X [mm] \subset \IR$!)
[/mm]
und das kann man benutzen, um zu zeigen, dass man nach einer gewissen Anzahl von Hintereinanderausfürhungen der Operationen "Komplementbildung+Abschlussbildung" nichts neues mehr erhält...
Analog im Falle b)...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Do 03.01.2008 | | Autor: | batjka |
ich bedanke mich für diese ausführliche und verständliche Erklärung
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