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| Aufgabe | Seien A, B, C Mengen. Man zeige
a) A \ B = A [mm] \cap \overline{B}
[/mm]
b) ( A \ B ) \ C = A (B [mm] \cup [/mm] C)
c) (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C = (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] C)
Hinweis: Man zeige jeweils die beiden Inklusionen [mm] \supseteq [/mm] und [mm] \subseteq [/mm] (Führen Sie den Beweis ohne Wahrheitswerttafeln und Venndiagramme)
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir einer Helfen, ich weiss nicht was die von mir möchte.
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Hallo hatiran,
bei dieser Aufgabe ist die typische Beweisführung für Mengen gefragt.
Du sollst zeigen das die eine Menge Teilmenge der anderen ist, und umgekehrt. Damit hast du die Gleichheit gezeigt.
Ich machs dir mal an der ersten Aufgabe vor, den Rest solltest du dann leichter schaffen:
Nehmen wir uns ein x [mm] \in [/mm] A \ B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] a [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in \overline{B} [/mm] (Komplemantärmenge) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in A\cap\overline{B}
[/mm]
Damit hätten wir gezeigt, dass wenn ein x in [mm] A\cap\overline{B} [/mm] enthalten ist, genau so in A \ B enthalten ist und umgekehrt.
Damit muss gelten: A \ B = [mm] A\cap\overline{B}
[/mm]
Manchmal ist es nicht so leicht, diese Schlussfolgerungen mit Äquivalenzpfeilen zu machen, dann muss man erst zeigen, dass x [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Y und x [mm] \in [/mm] Y [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X. Und daraus kannst du dann auf X = Y schließen.
Ich hoffe jetzt wird die Aufgabe ein wenig leichter.
lg Kai
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Erst einmal vielen Dank.
Also dann ist bei b die Lösung:
x [mm] \in [/mm] ( A \ B) \ C [mm] \gdw [/mm] ( x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in \overline{B} [/mm] )
[mm] \vee [/mm] x [mm] \in \overline{C}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in \overline{B} \vee [/mm] x [mm] \in \overline{C}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in \overline{B} \cup [/mm] x [mm] \in \overline{C}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in \overline{B} \cup \overline{C}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] A\ (B [mm] \cup [/mm] C)
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