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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mi 30.05.2012 | | Autor: | gene |
| Aufgabe 1 | Man gebe ohne Beweis die folgenden Mengen durch Auflistung ihrer Element in Mengenklammern an, z.B. [mm] $\{1; 7; 8\}$ [/mm] oder [mm] $\{\}$. [/mm] Die Elemente sind dabei in aufsteigender Reihenfolge zu sortieren. Man beachte, dass bei uns gilt [mm] $\IN=\{0; 1; 2; 3; \ldots\}$. [/mm] Punkte gibt es nur für vollständig korrekte Mengen.
(i) [mm] $\{ n\in\IN;n\le 10 \wedge(n\le 7\Rightarrow(\exists m \in\IN:n=2*m)) \}$
[/mm]
(ii) [mm] $\{ n\in\IN;n\le 10 \wedge(\forall m \in\IN:n=2*m+1) \}$
[/mm]
(iii) [mm] $\{ n\in\IN;n\le 10 \wedge((\exists m \in\IN:n=2*m)\Rightarrow n\le6) \}$
[/mm]
(iv) [mm] $\{ n\in\IN;n\le 10 \wedge(\exists m \in\IN:n=2*m\wedge n=4m)) \}$ [/mm] |
| Aufgabe 2 | Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
Seien [mm] $(a_n)_{n \in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] Zahlenfolgen mit Grenzwerten $a$ bzw. $b$ so, dass $a; b > 0$ und [mm] $a_n; b_n [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \in\IN$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty} a_n*b_n [/mm] =a*b$ |
i { [mm] n\in\IN;n\le [/mm] 10 [mm] \wedge(n\le 7\Rightarrow(\exists [/mm] m [mm] \in\IN:n=2*m)) [/mm] }
i {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
ii { [mm] n\in\IN;n\le [/mm] 10 [mm] \wedge(\forall [/mm] m [mm] \in\IN:n=2*m+1) [/mm] }
ii {}
iii { [mm] n\in\IN;n\le [/mm] 10 [mm] \wedge((\exists [/mm] m [mm] \in\IN:n=2*m)\Rightarrow n\le6) [/mm] }
iii){0,1,2,3,4,5,6,7,9}
IV){ [mm] n\in\IN;n\le [/mm] 10 [mm] \wedge(\exists [/mm] m [mm] \in\IN:n=2*m\wedge [/mm] n=4m)) }
IV){0}
Meine Lösung Aufgabe 2
sei [mm] \varepsilon [/mm] >0.da an gegen [mm] \infty [/mm] =a ,finde n0 so,dass für alle n [mm] \ge [/mm] n0 gilt
[mm] |an-a|<\bruch{\varepsilon}{2}.da [/mm] bn gegen [mm] \infty=b [/mm] ,finde [mm] n1\in\IN [/mm] so,dass für alle [mm] n\ge [/mm] n1 gilt [mm] |bn-b|<\bruch{\varepsilon}{2}.setze [/mm] n3=max{n0,n1}
dann gilt für alle [mm] n\ge [/mm] n3 :|an*bn-(a*b)|=|an*bn+a*bn-a*bn-a*b|
=|bn(an-a)+a(bn-)b|
<|bn*(an-a)|*|a*(bn-b)|
=|bn|*|an-b|+|a|*|bn-b|
[mm] <\bruch{\varepsilon} {2}+\bruch{\varepsilon}{2} =\varepsilon
[/mm]
MoinMoin
ist meine lösungen Richtig .Danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mi 30.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man gebe ohne Beweis die folgenden Mengen durch Auflistung
> ihrer Element in Mengenklammern
> an, z.B. {1; 7; 8} oder {}. Die Elemente sind dabei in
> aufsteigender Reihenfolge zu sortieren. Man
> beachte, dass bei uns gilt N {0; 1; 2; 3; ...}. Punkte
> gibt es nur für vollständig korrekte Mengen.
>
> Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
> Seien an n [mm]\in\IN[/mm] und bn [mm]n\in\IN[/mm] Zahlenfolgen mit
> Grenzwerten a bzw. b so, dass a; b > 0 und an; bn > 0
> für alle n [mm]\in\IN.[/mm] Dann gilt:
> an*bn [mm]\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=a*b
>
> i { [mm]n\in\IN;n\le[/mm] 10 [mm]\wedge(n\le 7\Rightarrow(\exists[/mm] m
> [mm]\in\IN:n=2*m))[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> i {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Das stimmt nicht. gehört denn 5 zur Menge ? oder 7 ?
>
> ii { [mm]n\in\IN;n\le[/mm] 10 [mm]\wedge(\forall[/mm] m [mm]\in\IN:n=2*m+1)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> ii {}
O.K.
>
> iii { [mm]n\in\IN;n\le[/mm] 10 [mm]\wedge((\exists[/mm] m
> [mm]\in\IN:n=2*m)\Rightarrow n\le6)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> iii){0,1,2,3,4,5,6,7,9}
O.K.
>
> IV){ [mm]n\in\IN;n\le[/mm] 10 [mm]\wedge(\exists[/mm] m [mm]\in\IN:n=2*m\wedge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> n=4m)) }
>
> IV){0}
O.K.
>
> Meine Lösung Aufgabe 2
> sei [mm]\varepsilon[/mm] >0.da an gegen [mm]\infty[/mm] =a ,finde n0 so,dass
> für alle n [mm]\ge[/mm] n0 gilt
> [mm]|an-a|<\bruch{\varepsilon}{2}.da[/mm] bn gegen [mm]\infty=b[/mm] ,finde
> [mm]n1\in\IN[/mm] so,dass für alle [mm]n\ge[/mm] n1 gilt
> [mm]|bn-b|<\bruch{\varepsilon}{2}.setze[/mm] n3=max{n0,n1}
> dann gilt für alle [mm]n\ge[/mm] n3
> :|an*bn-(a*b)|=|an*bn+a*bn-a*bn-a*b|
>
> =|bn(an-a)+a(bn-)b|
>
> <|bn*(an-a)|*|a*(bn-b)|
Da sollte [mm] \le [/mm] |bn*(an-a)|+|a*(bn-b)| stehen
> =|bn|*|an-b|+|a|*|bn-b| stehen
Da sollte =|bn|*|an-a|+|a|*|bn-b|
> [mm]<\bruch{\varepsilon}{2}+\bruch{\varepsilon}{2}
Nein. Du bekommst:
\le |b_n|*\bruch{\varepsilon}{2} +|a|*\bruch{\varepsilon}{2}
Wie solltest Du also vorgehen ? Bedenke (b_n) ist beschränkt.
FRED
=\varepsilon[/mm]
>
> MoinMoin
>
> ist meine lösungen Richtig .Danke im voraus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mi 30.05.2012 | | Autor: | gene |
Danke Fred zu der erste aufgabe gehört die 5 und 7 nicht zu menge .
die Aufgabe 2 wenn bn beschränkt ist dann kann ist schreiben [mm] |bn|*|an-a|\le [/mm] c*|a-an| [mm] =c*\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] daher konvertiert |bn|*|an-a| gegen 0
ist so richtig
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Mi 30.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke Fred zu der erste aufgabe gehört die 5 und 7 nicht
> zu menge .
> die Aufgabe 2 wenn bn beschränkt ist dann kann ist
> schreiben [mm]|bn|*|an-a|\le[/mm] c*|a-an| [mm]=c*\bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
> daher konvertiert |bn|*|an-a| gegen 0
>
> ist so richtig
Ja, aber sauber formulieren !
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mi 30.05.2012 | | Autor: | gene |
danke Fred ich hab noch ein frage zu i ) die 3 gehört auch nicht zu mengen oder .
und wie schreib ich die Aufgabe 2 sauber formulieren
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Mi 30.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> danke Fred ich hab noch ein frage zu i ) die 3 gehört
> auch nicht zu mengen oder .
Ja
>
> und wie schreib ich die Aufgabe 2 sauber formulieren
Wir haben:
[mm] |a_nb_n-ab| \le |b_n|*|a_n-a|+|a|*|b_n-b|.
[/mm]
Da [mm] (b_n) [/mm] beschränkt ist, gibt es ein c>0 mit [mm] |b_n| \le [/mm] c für alle n.
Wir können a [mm] \ne [/mm] 0 annehmen (anderenfalls wird der restliche Beweis kürzer).
Wir haben jetzt:
(*) [mm] |a_nb_n-ab| \le c*|a_n-a|+|a|*|b_n-b|.
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Dann gibt es [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2 \in \IN [/mm] mit:
[mm] |a_n-a|< \bruch{\varepsilon}{2c} [/mm] für [mm] n>n_1 [/mm] und [mm] |b_n-b|< \bruch{\varepsilon}{2|a|} [/mm] für [mm] n>n_2.
[/mm]
Ist [mm] n_3:= [/mm] max [mm] \{n_1,n_2 \}, [/mm] so folgt aus (*):
[mm] |a_nb_n-ab|< \varepsilon [/mm] für [mm] n>n_3
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mi 30.05.2012 | | Autor: | gene |
Viel Viel Danke jetzt habe ich die menge i {0,2,4,6,8,10} richtig
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Hallo gene,
> Viel Viel Danke jetzt habe ich die menge i {0,2,4,6,8,10}
> richtig
Nein, was ist mit der 9?
Warum gehört die deiner Meinung nach nicht zur Menge?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mi 30.05.2012 | | Autor: | gene |
hi schachuzipus
die 9 gehört nicht zu menge weil es keine zahl gibt so dass 9=2*m erfüllt ist oder
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Hallo nochmal,
> hi schachuzipus
> die 9 gehört nicht zu menge weil es keine zahl gibt so
> dass 9=2*m erfüllt ist oder
Ja schon, aber diese Bedingung, dass die Zahlen gerade sein müssen, soll doch nur für Zahlen [mm] $\le [/mm] 7$ gelten ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Mi 30.05.2012 | | Autor: | gene |
ha ok Danke
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