Mengen: (A+B)^C = A^C+B^C ? < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Mi 13.02.2013 | | Autor: | moti |
| Aufgabe | Ist folgende Aussage wahr oder falsch:
Für je zwei Mengen A, B gilt $ (A [mm] \cup B)^C [/mm] = [mm] A^C \cup B^C [/mm] $.
Begründen Sie! |
Mir ist nicht klar, wie ich das genau verstehen soll. Ich denke, dass das C im Exponenten ein kartesisches Produkt darstellt, bin mir aber auch nicht gänzlich sicher. Ich würde sagen, das ganze ist falsch, aber ich finde kein Gegenbeispiel oder ähnliches. Begründung von mir wäre, beim kartesischem Produkt geht es um geordnete Paare, die werden hier nicht mehr geordnet bleiben. Könnte man das so sagen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ist folgende Aussage wahr oder falsch:
> Für je zwei Mengen A, B gilt [mm](A \cup B)^C = A^C \cup B^C [/mm].
>
> Begründen Sie!
> Mir ist nicht klar, wie ich das genau verstehen soll. Ich
> denke, dass das C im Exponenten ein kartesisches Produkt
> darstellt, bin mir aber auch nicht gänzlich sicher. Ich
> würde sagen, das ganze ist falsch, aber ich finde kein
> Gegenbeispiel oder ähnliches. Begründung von mir wäre,
> beim kartesischem Produkt geht es um geordnete Paare, die
> werden hier nicht mehr geordnet bleiben. Könnte man das so
> sagen?
Hallo moti,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
um diese Aufgabe zu lösen oder erstmal einfach
zu verstehen, muss man wissen, was mit einem
Ausdruck der Form [mm] M^C [/mm] , wobei M und C Mengen
sind, überhaupt gemeint ist.
Unter [mm] M^C [/mm] versteht man dann die Menge aller
Funktionen (Abbildungen) von C nach M .
Jedes Element von [mm] M^C [/mm] ist also eine Abbildung
mit Definitionsbereich C und mit Werten in M.
Wieder als Menge ausgedrückt ist eine solche
Funktion eine Menge f geordneter Paare (x,y)
mit folgenden Eigenschaften:
Zu jedem [mm] x\in [/mm] C existiert genau ein [mm] (x,y)\in [/mm] f
Dabei ist jeweils [mm] y\in [/mm] M
Siehe ![[]](/images/popup.gif) Relationen und Funktionen
LG
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Mi 13.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ist folgende Aussage wahr oder falsch:
> Für je zwei Mengen A, B gilt [mm](A \cup B)^C = A^C \cup B^C [/mm].
>
> Begründen Sie!
> Mir ist nicht klar, wie ich das genau verstehen soll. Ich
> denke, dass das C im Exponenten ein kartesisches Produkt
> darstellt, bin mir aber auch nicht gänzlich sicher. Ich
> würde sagen, das ganze ist falsch, aber ich finde kein
> Gegenbeispiel oder ähnliches. Begründung von mir wäre,
> beim kartesischem Produkt geht es um geordnete Paare, die
> werden hier nicht mehr geordnet bleiben. Könnte man das so
> sagen?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich glaube eher, dass eine Grundmenge X gegeben ist, dass A und B Teilmengen von X sind und dass mit [mm] A^C [/mm] das Komplement von A, also X \ A gemeint ist.
Wenn das so gemeint ist, dann ist
$ (A [mm] \cup B)^C [/mm] = [mm] A^C \cup B^C [/mm] $
i.a. falsch.
Wähle X={ 1,2,3 } und A,B jeweils einelementig.
FRED
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> > Ist folgende Aussage wahr oder falsch:
> > Für je zwei Mengen A, B gilt [mm](A \cup B)^C = A^C \cup B^C [/mm].
>
> > Begründen Sie!
> > Mir ist nicht klar, wie ich das genau verstehen soll.
> > Ich denke, dass das C im Exponenten ein kartesisches Produkt
> > darstellt, bin mir aber auch nicht gänzlich sicher. Ich
> > würde sagen, das ganze ist falsch, aber ich finde kein
> > Gegenbeispiel oder ähnliches. Begründung von mir wäre,
> > beim kartesischem Produkt geht es um geordnete Paare, die
> > werden hier nicht mehr geordnet bleiben. Könnte man das so
> > sagen?
>
> Ich glaube eher, dass eine Grundmenge X gegeben ist, dass A
> und B Teilmengen von X sind und dass mit [mm]A^C[/mm] das Komplement
> von A, also X \ A gemeint ist.
>
> Wenn das so gemeint ist, dann ist
>
> [mm](A \cup B)^C = A^C \cup B^C[/mm]
>
> i.a. falsch.
>
> Wähle X={ 1,2,3 } und A,B jeweils einelementig.
>
> FRED
Hallo Fred,
mit großer Wahrscheinlichkeit hast du Recht.
Mit dem "Exponenten" C ist wohl die Bildung der
Complementärmenge gemeint.
Dass ich C wirklich als Exponenten gesehen habe,
liegt an zweierlei:
1.) dass ich zuerst die Überschrift gesehen hatte,
in welcher man die hoch-Zeichen ^ deutlich sieht;
2.) am Hinweis auf "Exponenten" und "kartesisches Produkt"
durch den Fragesteller.
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Mi 13.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Ist folgende Aussage wahr oder falsch:
> > > Für je zwei Mengen A, B gilt [mm](A \cup B)^C = A^C \cup B^C [/mm].
>
> >
> > > Begründen Sie!
>
> > > Mir ist nicht klar, wie ich das genau verstehen soll.
> > > Ich denke, dass das C im Exponenten ein kartesisches
> Produkt
> > > darstellt, bin mir aber auch nicht gänzlich sicher. Ich
> > > würde sagen, das ganze ist falsch, aber ich finde kein
> > > Gegenbeispiel oder ähnliches. Begründung von mir wäre,
> > > beim kartesischem Produkt geht es um geordnete Paare, die
> > > werden hier nicht mehr geordnet bleiben. Könnte man das so
> > > sagen?
>
> >
> > Ich glaube eher, dass eine Grundmenge X gegeben ist, dass A
> > und B Teilmengen von X sind und dass mit [mm]A^C[/mm] das Komplement
> > von A, also X \ A gemeint ist.
> >
> > Wenn das so gemeint ist, dann ist
> >
> > [mm](A \cup B)^C = A^C \cup B^C[/mm]
> >
> > i.a. falsch.
> >
> > Wähle X={ 1,2,3 } und A,B jeweils einelementig.
> >
> > FRED
>
>
> Hallo Fred,
>
> mit großer Wahrscheinlichkeit hast du Recht.
>
> Mit dem "Exponenten" C ist wohl die Bildung der
> Complementärmenge gemeint.
>
> Dass ich C wirklich als Exponenten gesehen habe,
> liegt an zweierlei:
>
> 1.) dass ich zuerst die Überschrift gesehen hatte,
> in welcher man die hoch-Zeichen ^ deutlich sieht;
>
> 2.) am Hinweis auf "Exponenten" und "kartesisches Produkt"
> durch den Fragesteller.
>
> LG , Al
>
Hallo Al,
Deine Interpretation kann durchaus richtig sein.
Gruß FRED
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> Ist folgende Aussage wahr oder falsch:
> Für je zwei Mengen A, B gilt [mm](A \cup B)^C = A^C \cup B^C [/mm].
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> Begründen Sie!
> Mir ist nicht klar, wie ich das genau verstehen soll. Ich
> denke, dass das C im Exponenten ein kartesisches Produkt
> darstellt, bin mir aber auch nicht gänzlich sicher. Ich
> würde sagen, das ganze ist falsch, aber ich finde kein
> Gegenbeispiel oder ähnliches. Begründung von mir wäre,
> beim kartesischem Produkt geht es um geordnete Paare, die
> werden hier nicht mehr geordnet bleiben. Könnte man das so
> sagen?
So wie es scheint, wissen wir jetzt alle noch
nicht mit Sicherheit, wie wohl die Aufgabe
gemeint war.
Fred hat angeregt, für den Fall, dass das "C"
die Bildung der Komplementärmenge bedeuten
sollte, ein Gegenbeispiel zu suchen, welches die
Aussage widerlegt.
Auch im Fall, dass [mm] M^C [/mm] doch die Menge der Abbildungen
$\ f:\ [mm] C\to\, [/mm] M$ bezeichnen soll, könnte es sich lohnen,
zunächst einmal einfache Beispiele zu betrachten
und sich zu überlegen, ob man eher nach einem
Gegenbeispiel oder nach einem Beweis suchen soll.
Insgesamt haben wir jetzt also aus einer nicht
ganz klar (also "halbbatzig") definierten Aufgabe
zwei ziemlich unterschiedliche Aufgaben zur
Mengenlehre gemacht, welche beide ihren Sinn
haben und zum besseren Verständnis des Umgangs
mit Mengen und Mengenoperationen führen können !
LG
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Mi 13.02.2013 | | Autor: | moti |
Es leuchtet mir ein, dass die Frage nicht wirklich eindeutig gestellt ist. Ich kann euch auch nicht sagen, was bei dieser Frage bezweckt werden sollte.
Aber vielen Dank für eure Lösungsideen, die helfen mir auf jeden Fall das ganze Thema besser zu verstehen! Wenn noch jmd ein Gedankenblitz kommt, fänd ich das auf jeden Fall interessant^^
Grüße
moti
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> Es leuchtet mir ein, dass die Frage nicht wirklich
> eindeutig gestellt ist. Ich kann euch auch nicht sagen,
> was bei dieser Frage bezweckt werden sollte.
> Aber vielen Dank für eure Lösungsideen, die helfen mir
> auf jeden Fall das ganze Thema besser zu verstehen! Wenn
> noch jmd ein Gedankenblitz kommt, fänd ich das auf jeden
> Fall interessant^^
>
> Grüße
> moti
Naja, dann mach' das beste, was du aus der Situation
machen kannst: Gib saubere Lösungen für die zwei unter-
schiedlichen Interpretationen der Aufgabenstellung an
und gib damit den Aufgabenstellern den leisen Hinweis,
dass sie in Zukunft etwas genauer darauf achten sollten,
Aufgaben so zu stellen, dass man dann nicht wieder in
solche Konflikte darüber kommt, wie die Aufgabentexte
eigentlich zu verstehen seien !
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Do 14.02.2013 | | Autor: | moti |
Ja, das wäre der ideale Weg. Da es sich aber um eine alte Klausuraufgabe handelt, und ich morgen auch eine Klausur schreibe, könnte das schwierig werden^^ Aber falls genau so etwas drankommt, werde ich vorbereitet sein, und kann beide Argumentationen hinschreiben! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:30 Do 14.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es leuchtet mir ein, dass die Frage nicht wirklich
> eindeutig gestellt ist.
Die Bedeutung von [mm] A^C [/mm] muß ja nicht nochmal in der Aufgabenstellung erläutert werden, wenn vorher in der Vorlesung def. wurde, was [mm] A^C [/mm] sein soll.
Also schau mal in Deinen Mitschrieb oder in Dein Skript, möglicherweise findest Du etwas.
FRED
> Ich kann euch auch nicht sagen, was
> bei dieser Frage bezweckt werden sollte.
> Aber vielen Dank für eure Lösungsideen, die helfen mir
> auf jeden Fall das ganze Thema besser zu verstehen! Wenn
> noch jmd ein Gedankenblitz kommt, fänd ich das auf jeden
> Fall interessant^^
>
> Grüße
> moti
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Do 14.02.2013 | | Autor: | moti |
Es wurde nichts weiter dazu erklärt oder ähnliches, es handelt sich um eine alte Klausuraufgabe. Da ich bei diesem Prof damals nicht die Vorlesung hatte, kann ich auch nicht aus meinem Vorlesungsmaterial schließen, was damit gemeint wurde. Habe ich schon nachgeschaut, wir hatten das Thema anders behandelt.
Ich merke mir einfach beides, fürs Verständnis trägt das ja am meisten bei!
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