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| Aufgabe | Definition: Sei X eine Menge, und [mm] \textbf{A} [/mm] eine nichtleere Menge, sodass für jedes [mm] $\alpha\in\textbf{A}$ $A_\alpha$ [/mm] ebenfalls eine Menge ist und [mm] \{A_\alpha:\alpha\in\textbf{A}\} [/mm] sei eine Familie von Teilmengen von X. Dann sind Durchschnitt und Vereinigung definiert durch:
[mm] $\bigcap_\alpha A_\alpha:=\{x\in X:\forall\alpha\in\textbf{A}:x\in A_\alpha\}$, [/mm] sowie
[mm] $\bigcup_\alpha A_\alpha:=\{x\in X:\exists\alpha\in\textbf{A}:x\in A_\alpha\}$.
[/mm]
Man beweise: Sind [mm] $\{A_\alpha;\alpha\in{}A\}$ [/mm] und [mm] $\{B_\beta;\beta\in B\}$ [/mm] Familien von Teilmengen einer Menge $X$, dann gilt: [mm] $\left(\bigcap_{\alpha} A_\alpha\right)\cap\left(\bigcap_\beta B_\beta\right)=\bigcap_{(\alpha,\beta)}A_\alpha\cap B_\beta$ [/mm] |
Guten Tag!
Auch hierbei benötige ich Hilfe. Der Teil rechterhand der Gleichung ist ja gar nicht wirklich definiert, ich habe ihn interpretiert als [mm] $\bigcap_{(\alpha,\beta)}A_\alpha\cap B_\beta:=\{x\in X:\forall(\alpha,\beta)\in\textbf{A}\times\textbf{B}:x\in A_\alpha\cap B_\beta\}$. [/mm] Ist das so richtig, oder ist etwas anderes gemeint?
Dann habe ich als groben Beweis:
[mm] $\left(\bigcap_{\alpha} A_\alpha\right)\cap\left(\bigcap_\beta B_\beta\right)\\$
[/mm]
[mm] $=\{x\in X:\forall\alpha\in\textbf{A}:x\in A_\alpha\}\cap\{x\in\ X:\forall\beta\in\textbf{B}:x\in B_\beta\}\\$
[/mm]
[mm] $=\{x\in X:\forall(\alpha,\beta)\in\textbf{A}\times\textbf{B}:x\in A_\alpha\land x\in B_\beta\}\\$
[/mm]
[mm] $=\{x\in X:\forall(\alpha,\beta)\in\textbf{A}\times\textbf{B}:x\in A_\alpha\cap B_\beta\}\\$
[/mm]
[mm] $=\bigcap_{(\alpha,\beta)}A_\alpha\cap B_\beta$.
[/mm]
Ich bin mir aber keineswegs sicher, ob die von mir angegebenen Mengengleichheiten tatsächlich wahr sind und wenn ja, wie ich sie begründen könnte.
Könnte mir jemand helfen?
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 So 18.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Definition: Sei X eine Menge, und [mm]\textbf{A}[/mm] eine
> nichtleere Menge, sodass für jedes [mm]\alpha\in\textbf{A}[/mm]
> [mm]A_\alpha[/mm] ebenfalls eine Menge ist und
> [mm]\{A_\alpha:\alpha\in\textbf{A}\}[/mm] sei eine Familie von
> Teilmengen von X. Dann sind Durchschnitt und Vereinigung
> definiert durch:
> [mm]\bigcap_\alpha A_\alpha:=\{x\in X:\forall\alpha\in\textbf{A}:x\in A_\alpha\}[/mm],
> sowie
> [mm]\bigcup_\alpha A_\alpha:=\{x\in X:\exists\alpha\in\textbf{A}:x\in A_\alpha\}[/mm].
>
> Man beweise: Sind [mm]\{A_\alpha;\alpha\in{}A\}[/mm] und
> [mm]\{B_\beta;\beta\in B\}[/mm] Familien von Teilmengen einer Menge
> [mm]X[/mm], dann gilt: [mm]\left(\bigcap_{\alpha} A_\alpha\right)\cap\left(\bigcap_\beta B_\beta\right)=\bigcap_{(\alpha,\beta)}A_\alpha\cap B_\beta[/mm]
>
> Guten Tag!
>
> Auch hierbei benötige ich Hilfe. Der Teil rechterhand der
> Gleichung ist ja gar nicht wirklich definiert, ich habe ihn
> interpretiert als [mm]\bigcap_{(\alpha,\beta)}A_\alpha\cap B_\beta:=\{x\in X:\forall(\alpha,\beta)\in\textbf{A}\times\textbf{B}:x\in A_\alpha\cap B_\beta\}[/mm].
> Ist das so richtig,
Ja
> oder ist etwas anderes gemeint?
>
> Dann habe ich als groben Beweis:
>
> [mm]\left(\bigcap_{\alpha} A_\alpha\right)\cap\left(\bigcap_\beta B_\beta\right)\\[/mm]
>
> [mm]=\{x\in X:\forall\alpha\in\textbf{A}:x\in A_\alpha\}\cap\{x\in\ X:\forall\beta\in\textbf{B}:x\in B_\beta\}\\[/mm]
>
> [mm]=\{x\in X:\forall(\alpha,\beta)\in\textbf{A}\times\textbf{B}:x\in A_\alpha\land x\in B_\beta\}\\[/mm]
>
> [mm]=\{x\in X:\forall(\alpha,\beta)\in\textbf{A}\times\textbf{B}:x\in A_\alpha\cap B_\beta\}\\[/mm]
>
> [mm]=\bigcap_{(\alpha,\beta)}A_\alpha\cap B_\beta[/mm].
>
> Ich bin mir aber keineswegs sicher, ob die von mir
> angegebenen Mengengleichheiten tatsächlich wahr sind und
> wenn ja, wie ich sie begründen könnte.
Du hast alles richtig gemacht !
FRED
>
> Könnte mir jemand helfen?
>
> Liebe Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo, ich habe etwas rumprobiert, aber ich bin nicht darauf gekommen, warum [mm] \textbf{A}\not=\emptyset\not=\textbf{B} [/mm] gelten muss. Auch ist bei mein Aufschrieb trotz meiner Skepsis so geraten, dass ich beide Teilmengenbeziehungen (vielleicht ja fälschlicherweise) gleichzeitig zu zeigen versuche.
[mm] $a\in\{x\in X:\forall\alpha\in\textbf{A}:x\in A_\alpha\}\cap\{x\in X:\forall\beta\in\textbf{B}:x\in B_\beta\}$
[/mm]
[mm] $\gdw a\in\{x\in X:\forall\alpha\in\textbf{A}:x\in A_\alpha\}\land a\in\{x\in X:\forall\beta\in\textbf{B}:x\in B_\beta\}$
[/mm]
[mm] $\gdw\forall\alpha\in\textbf{A}:a\in A_\alpha\land\forall\beta\in\textbf{B}:a\in B_\beta$
[/mm]
[mm] $\gdw\forall(\alpha,\beta)\in\textbf{A}\times\textbf{B}:a\in A_\alpha\cap\B_\beta$
[/mm]
[mm] $\gdw a\in\{x\in X:\forall(\alpha,\beta)\in\textbf{A}\times\textbf{B}:x\in A_\alpha\cap B_\beta\}$
[/mm]
Besonders unsicher bin ich mir immer noch da, wo ich den Übergang zu [mm] A\times [/mm] B habe.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 So 18.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Hallo, ich habe etwas rumprobiert, aber ich bin nicht
> darauf gekommen, warum
> [mm]\textbf{A}\not=\emptyset\not=\textbf{B}[/mm] gelten muss.
Das benötigst du genau an der Stelle, bei der du unsicher bist.
> [mm]a\in\{x\in X:\forall\alpha\in\textbf{A}:x\in A_\alpha\}\cap\{x\in X:\forall\beta\in\textbf{B}:x\in B_\beta\}[/mm]
>
> [mm]\gdw a\in\{x\in X:\forall\alpha\in\textbf{A}:x\in A_\alpha\}\land a\in\{x\in X:\forall\beta\in\textbf{B}:x\in B_\beta\}[/mm]
>
> [mm]\gdw\forall\alpha\in\textbf{A}:a\in A_\alpha\land\forall\beta\in\textbf{B}:a\in B_\beta[/mm] [mm] $\red{\wedge\quad a\in X}$
[/mm]
>
> [mm]\gdw\forall(\alpha,\beta)\in\textbf{A}\times\textbf{B}:a\in A_\alpha\cap\B_\beta[/mm] [mm] $\red{\wedge\quad a\in X}$
[/mm]
>
> [mm]\gdw a\in\{x\in X:\forall(\alpha,\beta)\in\textbf{A}\times\textbf{B}:x\in A_\alpha\cap B_\beta\}[/mm]
>
> Besonders unsicher bin ich mir immer noch da, wo ich den
> Übergang zu [mm]A\times[/mm] B habe.
Wieder sehr sauber aufgeschrieben! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wenn das mal alle Fragensteller hier so könnten...
Ich habe an zwei Stellen die Aussage [mm] $a\in [/mm] X$ ergänzt. Wegen [mm] $\textbf{A},\textbf{B}\not=\emptyset$ [/mm] wäre das zwar nicht nötig. Aber es macht die Argumentation einfacher.
Nun zur fraglichen Stelle:
> [mm]\gdw\forall\alpha\in\textbf{A}:a\in A_\alpha\land\forall\beta\in\textbf{B}:a\in B_\beta[/mm] [mm] $\red{\wedge\quad a\in X}$
[/mm]
>
> [mm]\gdw\forall(\alpha,\beta)\in\textbf{A}\times\textbf{B}:a\in A_\alpha\cap\B_\beta[/mm] [mm] $\red{\wedge\quad a\in X}$
[/mm]
Zeige beide Richtungen getrennt.
Ich fange mal mit der Richtung von unten nach oben an.
Gelte also [mm] $a\in [/mm] X$ und [mm] $\forall(\alpha,\beta)\in\textbf{A}\times\textbf{B}:a\in A_\alpha\cap B_\beta [/mm] $ (*).
Zu zeigen ist u.a. [mm] $\forall\alpha\in\textbf{A}:a\in A_\alpha$.
[/mm]
Sei also [mm] $\alpha\in\textbf{A}$. [/mm] Zu zeigen ist: [mm] $a\in A_\alpha$.
[/mm]
Nun nutzen wir [mm] $\textbf{B}\not=\emptyset$. [/mm] Es gibt also ein [mm] $\beta\in\textbf{B}$.
[/mm]
Also [mm] $(\alpha,\beta)\in\text{A}\times\text{B}$.
[/mm]
Nach (*) folgt [mm] $a\in A_\alpha\cap B_{\beta}$.
[/mm]
Also [mm] $a\in A_\alpha$.
[/mm]
Letzteres war zu zeigen.
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Beweis-Anleitung