Mengen, Komplement < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo, ich hätte da noch eine Aufgabe.
Bräuchte dazu nur einen Tipp, ob mein Gedankengang richtig ist.
Es sei M eine Menge. Für Teilmengen X,Y von M seien [mm] \overline{X} [/mm] , [mm] \overline{Y} [/mm] ihre Komplemente in M. Um welche Teilmenge von M handelt
es sich bei den folgenden Konstrukten?
1) (X [mm] \cup [/mm] Y) [mm] \cap \overline{X} \cap \overline{Y}
[/mm]
Mein Ansatz: als erstes Vereinige ich X und Y dann habe ich a Elemte aus X und a Element aus Y. Dann wird diese Menge von [mm] \overline{X} [/mm] geschnitten. dann bleiben doch nur noch die Elemente übrig, die in Y und [mm] \overline{X} [/mm] gemeinsam enthalten sind, da ja die Menge von [mm] \overline{X}, [/mm] die Menge ist, die nicht in X enthalten ist. Dann ist a Element in Y und zugleich in [mm] \overline{X}. [/mm] Und wenn jetzt diese Menge geschnitten wird von [mm] \overline{Y} [/mm] bleibt doch nur noch die Schnittmenge von [mm] \overline{X} [/mm] und [mm] \overline{Y} [/mm] übrig, da [mm] \overline{Y} [/mm] die Menge ist, die nicht in Y enthalten ist.
Meine Frage: ist dieser Gedanke richtig, wenn nicht bitte ich dringend um Hilfe. Und wie schreibt man mathematisch die Lösung auf????
Die zweite Aufgabe ist:
(X [mm] \cap [/mm] Y) [mm] \cup \overline{X} \cup \overline{Y}
[/mm]
Mein Ansatz: als erstes die Schnittmenge von X und Y bilden, dann habe ich a Element aus X und zugleich a Element aus Y. diese Menge vereinige ich mit [mm] \overline{X} [/mm] ... [red]und wie [mm] weiter???[\red] [/mm]
Es wäre lieb,wenn sich jemand damit auskennt und mir
bei der Bewältigung dieser Aufgabe hilft...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo, ich hätte da noch eine Aufgabe.
leider habe ich diese in den Analysis-raum
für Oberstufe geschickt. Wäre
lieb, wenn jemand diese aus diesem
Bereich anschauen könnt, um mir dann
eventuell ein Tipp und Hilfe zu geben.
Vielen Dank an Taura, der Lösungsweg ist
mir in meiner Abwesenheit auch eingefallen... aber
nur weil ich um vielen Ecken gedacht habe...
Lieb Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Eine andere Aufgabe von dir finde ich nicht - könntest du hier vielleicht mal den Link einfügen?
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Hallo!
> Es sei M eine Menge. Für Teilmengen X,Y von M seien
> [mm]\overline{X}[/mm] , [mm]\overline{Y}[/mm] ihre Komplemente in M. Um
> welche Teilmenge von M handelt
> es sich bei den folgenden Konstrukten?
>
> 1) (X [mm]\cup[/mm] Y) [mm]\cap \overline{X} \cap \overline{Y}[/mm]
>
> Mein Ansatz: als erstes Vereinige ich X und Y dann habe
> ich a Elemte aus X und a Element aus Y. Dann wird diese
> Menge von [mm]\overline{X}[/mm] geschnitten. dann bleiben doch nur
> noch die Elemente übrig, die in Y und [mm]\overline{X}[/mm]
> gemeinsam enthalten sind, da ja die Menge von [mm]\overline{X},[/mm]
> die Menge ist, die nicht in X enthalten ist. Dann ist a
> Element in Y und zugleich in [mm]\overline{X}.[/mm] Und wenn jetzt
> diese Menge geschnitten wird von [mm]\overline{Y}[/mm] bleibt doch
> nur noch die Schnittmenge von [mm]\overline{X}[/mm] und [mm]\overline{Y}[/mm]
> übrig, da [mm]\overline{Y}[/mm] die Menge ist, die nicht in Y
> enthalten ist.
>
> Meine Frage: ist dieser Gedanke richtig, wenn nicht bitte
> ich dringend um Hilfe. Und wie schreibt man mathematisch
> die Lösung auf????
Also, prinzipiell ist deine Lösungsidee richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Allerdings hast du da am Ende irgendwo einen Fehler, denn es bleibt nicht die Schnittmenge von [mm] \overline{X} [/mm] und [mm] \overline{Y} [/mm] übrig, denn das x soll ja außerdem auch noch in [mm] $(X\cup [/mm] Y)$ liegen - das hast du irgendwie vergessen.
Bevor man mit solch einer Aufgabe anfängt ist es hilfreich, sich eine Skizze zu machen, dann sieht man schon, was nachher herauskommen muss. Aber diese Skizze ist kein Beweis! Zeichne dir also zwei Mengen (ich zeichne immer zwei sich schneidende, ich denke aber, das müsste hier egal sein...) X und Y und darum eine Menge M (diese zeichne ich immer rechteckig, aber das ist eigentlich auch egal). Nun schraffierst du entweder mit einer Farbe oder mit einem bestimmen Muster die Fläche [mm] $(X\cup [/mm] Y)$. Dann schraffierst du [mm] \overline{X} [/mm] mit einer anderen Farbe oder einem anderen Muster und dann noch [mm] \overline{Y}. [/mm] Und nun ist das Ergebnis der Teil, der in jeder Farbe bzw. mit jeder Schraffur bedeckt ist und bei mir ist das gar nichts! 
Mathematisch würde ich es so aufschreiben:
[mm] $x\in(X\cup Y)\cap\overline{X}\cap\overline{Y} \gdw x\in(X\cup Y)\wedge x\in\overline{X}\wedge x\in\overline{Y} \gdw (x\in X\vee x\in Y)\wedge x\in M\backslash [/mm] X [mm] \wedge x\in M\backslash [/mm] Y [mm] \gdw (x\in X\vee x\in Y)\wedge x\in M\wedge x\notin X\wedge x\in M\wedge x\notin [/mm] Y [mm] \gdw (x\in X\vee x\in Y)\wedge x\in M\wedge x\notin X\wedge x\notin [/mm] Y$
Naja, und da ja X und Y in M enthalten sind, können wir das mit dem M hier weglassen, denn alle Elemente, die in X oder in Y liegen, liegen dann ja automatisch auch in M. Also haben wir noch da stehen:
[mm] $(x\in X\vee x\in Y)\wedge x\notin X\wedge x\notin [/mm] Y$
Wenn du willst, kannst du das jetzt noch weiter umformen:
[mm] $\gdw (x\in X\wedge x\notin X\wedge x\notin Y)\vee(x\in Y\wedge x\notin X\wedge x\notin [/mm] Y)$
und spätestens hier sieht man dann, dass da nichts mehr übrig bleibt, denn [mm] $x\in X\wedge x\notin [/mm] X$ ist gleich Null!
> Die zweite Aufgabe ist:
>
> (X [mm]\cap[/mm] Y) [mm]\cup \overline{X} \cup \overline{Y}[/mm]
Probierst du die nach meinem Schema bitte mal? Kannst auch erst mal nur den Anfang posten, damit du nicht evtl. Folgefehler machst...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:05 So 06.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Guten Morgen Bastiane,
danke für Deine ausführliche Beschreibung.
Die zweite Aufgabe werde ich jetzt mal nach diesem Schema
selber probieren...
sollte ich auf keine Lösung kommen, dann stelle ich sie wieder rein.
Achja, das war die Analysis-Aufgabe, die Stand vorher in Analysis Oberstufe
aber irgendwie stand sie dann ein paar Minuten später in Analysis-Uni.
Die andere Aufgabe die ich hatte, steht in Uni-Algebra. Da muss ich erstmal
schauen, ob mir jemand Hilfe geben konnte. Hatte was mit Körper und
Verknüpfung zu tun von 3 Elementen
Liebe Grüße
und erstmal vielen tausend Dank
Doreen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 So 06.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Die zweite Aufgabe ist gemacht.
Könntest Du (oder jemand anderes) schauen ob das so paßt?
(X [mm] \cap [/mm] Y) [mm] \cup \overline{X} \cup \overline{Y}
[/mm]
(x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] Y) [mm] \vee [/mm] x [mm] \in \overline{X} \vee [/mm] x [mm] \in \overline{Y}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] Y) [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] M \ X [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] M \ Y [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] Y) [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] X [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] Y [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] X [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] Y) [mm] \wedge [/mm] ( x [mm] \in [/mm] Y [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] X [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] Y)
entscheidene Aussage ist dann x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] Y
Dann ist die Frage um welche Teilmenge von M es sich handelt.
bei der 1. Aufgabe wäre das doch dann die leere Menge als Teilmenge M bei dieser Konstulation. Und bei der 2. Aufgabe wäre es doch X und Y als Teilmenge von M. Oder?
Liebe Grüße
und Danke
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Hallo!
Sorry, dass ich erst jetzt antworte, aber mein Computer läuft nicht mehr, und jetzt sitze ich hier in der Uni an einem...
> Die zweite Aufgabe ist gemacht.
> Könntest Du (oder jemand anderes) schauen ob das so paßt?
>
> (X [mm]\cap[/mm] Y) [mm]\cup \overline{X} \cup \overline{Y}[/mm]
>
> (x [mm]\in[/mm] X [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] Y) [mm]\vee[/mm] x [mm]\in \overline{X} \vee[/mm] x [mm]\in \overline{Y}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] X [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] Y) [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] M \ X [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] M
> \ Y [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] X [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] Y) [mm]\vee[/mm] x [mm]\not\in[/mm] X [mm]\vee[/mm] x
> [mm]\not\in[/mm] Y [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] X [mm]\vee[/mm] x [mm]\not\in[/mm] X [mm]\vee[/mm] x [mm]\not\in[/mm] Y)
> [mm]\wedge[/mm] ( x [mm]\in[/mm] Y [mm]\vee[/mm] x [mm]\not\in[/mm] X [mm]\vee[/mm] x [mm]\not\in[/mm] Y)
Bis hierhin konnte ich keinen Fehler finden.
> entscheidene Aussage ist dann x [mm]\in[/mm] X [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] Y
Das verstehe ich jetzt nicht so ganz. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
In der ersten Klammer hast du stehen [mm] $x\in [/mm] X [mm] \vee x\notin [/mm] X$ - diese Aussage ist immer wahr, da wir hier eine "Oder-Verknüpfung" haben, können wir diesen Teil also weglassen (denn irgendwas oder etwas Wahres ist immer wahr). Also bleibt nur noch übrig: [mm] $x\notin [/mm] Y$ In der zweiten Klammer folgt mit der gleichen Argumentation, dass dort nur noch steht: [mm] $x\notin [/mm] X$. Und diese beiden Aussagen werden dann eben noch durch das [mm] \wedge [/mm] verknüpft. Und das Ganze kannst du dann noch umformen zu: [mm] $x\notin(X\cup [/mm] Y)$ (hoffentlich habe ich mich jetzt hier nirgendwo vertan...).
> Dann ist die Frage um welche Teilmenge von M es sich
> handelt.
>
> bei der 1. Aufgabe wäre das doch dann die leere Menge als
> Teilmenge M bei dieser Konstulation. Und bei der 2.
> Aufgabe wäre es doch X und Y als Teilmenge von M. Oder?
Du meinst wohl "Konstellation".  Das erste stimmt, das zweite musst du meiner obigen Erklärung entsprechend nochmal überarbeiten. Ich glaube, es kommt heraus, dass es das Komplement von [mm] $(X\cup [/mm] Y)$ ist. Evtl. hilft es dir dabei, die aussagenlogischen Gesetzt mal anzugucken - ich habe sie leider gerade nicht hier und auch leider nicht den Nerv, da noch viel drüber nachzudenken, weil ich etwas aufgewühl bin... Sorry. Aber ich glaube, das Prinzip hast du verstanden, evtl. halt wie gesagt die Gesetze mal angucken.
Viele Grüße
Bastiane
P.S.: Hast du es hier eigentlich auch mal mit einem Bildchen zur Veranschaulichung probiert? Da kommt bei mir gerade irgendwie die komplette Menge M raus. Sorry. Evtl. habe ich doch irgendetwas falsch gemacht.
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