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| Aufgabe | X,Y [mm] \subseteq \in [/mm] K (bei uns definiert als [mm] \IC [/mm] oder [mm] \IR [/mm] beliebig). Zeigen Sie:
[mm] \partial(X \cap [/mm] Y) = [mm] (\partial [/mm] X [mm] \cap \overline{Y} [/mm] ) [mm] \cup (\overline{X} \cap \partial [/mm] Y)
Bemerkung:
Sie dürfen [mm] \overline{X \cap Y} [/mm] = [mm] \overline{X} \cap \overline{Y} [/mm] sowie
(X [mm] \cap Y)^\circ [/mm] = [mm] X^\circ \cap Y^\circ [/mm] ohne Beweis verwenden |
[mm] \partial [/mm] X bezeichnet bei uns den Rand der Menge X .
Also bei einer solchen Gleichung zeige ich ja per Inklusion, dass jedes Element aus [mm] \partial(X \cap [/mm] Y) auch in [mm] (\partial [/mm] X [mm] \cap \overline{Y} [/mm] ) [mm] \cup (\overline{X} \cap \partial [/mm] Y) und umgekehrt ist.
Also zz. [mm] \partial(X \cap [/mm] Y) [mm] \subseteq (\partial [/mm] X [mm] \cap \overline{Y} [/mm] ) [mm] \cup (\overline{X} \cap \partial [/mm] Y)
und zz. [mm] \partial(X \cap [/mm] Y) [mm] \supseteq (\partial [/mm] X [mm] \cap \overline{Y} [/mm] ) [mm] \cup (\overline{X} \cap \partial [/mm] Y)
Leider komme ich dabei nicht sonderlich weit:
[mm] "\subseteq"
[/mm]
a [mm] \in \partial(X \cap [/mm] Y)
per Definition des Randes:
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in \overline{X \cap Y} \backslash [/mm] (X [mm] \cap Y)^\circ
[/mm]
dann mit der Bemerkung:
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in \overline{X} \cap \overline{Y} \backslash X^\circ \cap Y^\circ [/mm]
so an dieser Stelle weiss ich nicht weiter. Bin nicht mal sicher obich überhaupt auf dem richtigen Weg bin -.-
[mm] "\supseteq"
[/mm]
a [mm] \in (\partial [/mm] X [mm] \cap \overline{Y} [/mm] ) [mm] \cup (\overline{X} \cap \partial [/mm] Y)
Hier fehlt schon im Ansatz eine Idee
ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen!
Danke
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ich glaub ich habe jetzt die eine richtung zeigen können:
[mm] "\subseteq"
[/mm]
a [mm] \in \partial(X \cap [/mm] Y)
per Definition des Randes:
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in \overline{X \cap Y} \backslash [/mm] (X [mm] \cap Y)^\circ
[/mm]
dann mit der Bemerkung:
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in (\overline{X} \cap \overline{Y}) \backslash (X^\circ \cap Y^\circ) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in (\overline{X} \cap \overline{Y}) \backslash X^\circ \cup (\overline{X} \cap \overline{Y}) \backslash Y^\circ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in (\overline{X} \backslash X^\circ) \cap \overline{Y} \cup (\overline{Y} \backslash Y^\circ) \cap \overline{X}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a [mm] \in (\partial [/mm] X [mm] \cap \overline{Y} [/mm] ) [mm] \cup (\overline{X} \cap \partial [/mm] Y)
ist das so richtig?
bei der anderen richtung fehlt mir aber immer noch jede idee...
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Hallo,
leider kann ich dir bei deiner Aufgabe auch nicht weiter helfen, aber ich bearbeite zur Zeit eine ähnliche Aufgabe:
[mm] C(\partial [/mm] X) = [mm] X^\circ \cup (CX^\circ) [/mm]
Meine Frage ist, ob ich das auch ohne Inklusion zeigen kann?
Sprich:
[mm] C(\partial [/mm] X) = C [mm] (\overline{X}\setminus X^\circ) [/mm]
= (C [mm] \overline{X}) \setminus (CX^\circ)
[/mm]
... und ab hier komme ich nicht weiter.
Ist das denn bis dahin überhaupt zulässig?
Wäre euch sehr dankbar, wenn mir einer helfen könnte.
Gruß
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Ich vermute mal wir sitzen in der gleichen Veranstaltung ;)
Die Aufgabe habe ich wie folgt gelöst:
z.z.: [mm] C(\partial [/mm] X) = [mm] X^\circ \cup (CX^\circ) [/mm]
Zunächst ist ja per Definition:
[mm] \partial [/mm] X = [mm] \overline{X}\setminus X^\circ
[/mm]
soweit hattest du das ja jetzt auch schon. Nun ich hab einfach eine Menge definiert die genau diesen Ausdruck beschreibt:
[mm] \overline{X}\setminus X^\circ [/mm] = {x | x [mm] \in \overline{X} \wedge [/mm] x [mm] \not\in X^\circ [/mm] }
Daraus folgere ich jetzt:
[mm] C(\partial [/mm] X) = {x | x [mm] \not\in \overline{X} \vee [/mm] x [mm] \in X^\circ [/mm] }
das ist aber offensichtlich
= [mm] C\overline{X} \cup X^\circ
[/mm]
Mit der Dualität [mm] C\overline{X} [/mm] = [mm] (CX)^\circ
[/mm]
ergibt sich
[mm] C\overline{X} \cup X^\circ [/mm] = [mm] X^\circ \cup (CX)^\circ
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Do 08.01.2009 | | Autor: | CrazyMan |
Hi,
vielen Dank für deine Antwort. Bin schon fast dran verzweifelt.
Ja, sitzten scheinbar echt in derselben Vorlesung.
Bist du denn beim zweiten Teil deiner Aufgabe schon weiter gekommen?
Gruß CrazyMan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 10.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 09.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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