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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
| Aufgabe | Es seien A,B,C,D seien Mengen. Beweisen sie folgende Aussage:
Wenn [mm] A\subseteq [/mm] B und [mm] C\subseteq [/mm] D gilt, so ist [mm] A\times [/mm] C [mm] \subseteq B\times [/mm] D |
Also ich hätte nur gern einmal eine Kontrolle, weil ich mir nicht sicher bin ob ich richtig vorgehe.Danke shcon mal im Vorraus.
zu zeigen: [mm] A\subseteq [/mm] B [mm] \wedge C\subseteq [/mm] D [mm] \to A\times [/mm] C [mm] \subseteq B\times [/mm] D
Vorrausetzung: [mm] x\in A\subseteq [/mm] B [mm] \wedge y\in C\subseteq [/mm] D
Behauptung: [mm] (x,y)\in A\times [/mm] C [mm] \subseteq B\times [/mm] D
Beweis:
[mm] x\in A\subseteq [/mm] B gdw. [mm] x\in [/mm] A [mm] \to x\in [/mm] B
[mm] y\in C\subseteq [/mm] D gdw. [mm] y\in [/mm] C [mm] \to y\in [/mm] D
Es sei [mm] x\in [/mm] A und [mm] y\in [/mm] C , d.h. [mm] (x,y)\in (A\times [/mm] C)
und [mm] x\in [/mm] B und [mm] y\in [/mm] D , d.h. [mm] (x,y)\in (B\times [/mm] D)
Also gilt: [mm] (x,y)\in A\times [/mm] C [mm] \wedge (x,y)\in B\times [/mm] D
und [mm] x\in A\subseteq [/mm] B [mm] \wedge y\in C\subseteq [/mm] D
d.h. [mm] (x,y)\in A\times [/mm] C [mm] \subseteq B\times [/mm] D
[mm] \Rightarrow A\subseteq [/mm] B [mm] \wedge C\subseteq [/mm] D [mm] \Rightarrow A\times [/mm] C [mm] \subseteq B\times [/mm] D qed
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Hallo [mm] kar_o,
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> Es seien A,B,C,D seien Mengen. Beweisen sie folgende
> Aussage:
> Wenn [mm]A\subseteq[/mm] B und [mm]C\subseteq[/mm] D gilt, so ist [mm]A\times[/mm] C
> [mm]\subseteq B\times[/mm] D
> Also ich hätte nur gern einmal eine Kontrolle, weil ich
> mir nicht sicher bin ob ich richtig vorgehe.Danke shcon mal
> im Vorraus.
>
> zu zeigen: [mm]A\subseteq[/mm] B [mm]\wedge C\subseteq[/mm] D [mm]\to A\times[/mm]
> C [mm]\subseteq B\times[/mm] D
>
> Vorrausetzung: [mm] x\in A\subseteq [/mm] B [mm] \wedge y\in C\subseteq [/mm] D ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
>
> Behauptung: [mm](x,y)\in A\times[/mm] C [mm]\subseteq B\times[/mm] D
>
> Beweis:
> [mm]x\in A\subseteq[/mm] B gdw. [mm]x\in[/mm] A [mm]\to x\in[/mm] B
> [mm]y\in C\subseteq[/mm] D gdw. [mm]y\in[/mm] C [mm]\to y\in[/mm] D
>
> Es sei [mm]x\in[/mm] A und [mm]y\in[/mm] C , d.h. [mm](x,y)\in (A\times[/mm] C)
> und [mm]x\in[/mm] B und [mm]y\in[/mm] D , d.h. [mm](x,y)\in (B\times[/mm]
> D)
>
> Also gilt: [mm](x,y)\in A\times[/mm] C [mm]\wedge (x,y)\in B\times[/mm] D
> und [mm]x\in A\subseteq[/mm] B [mm]\wedge y\in C\subseteq[/mm]
> D
>
> d.h. [mm](x,y)\in A\times[/mm] C [mm]\subseteq B\times[/mm] D
>
> [mm]\Rightarrow A\subseteq[/mm] B [mm]\wedge C\subseteq[/mm] D [mm]\Rightarrow A\times[/mm]
> C [mm]\subseteq B\times[/mm] D qed
Das ist irgendwie ziemlich verwirrend, aber so ungefähr ok 
Ich würde vorschlagen, es klarer zu machen, ganz geradeheraus so, wie die Aufgabenstellung es diktiert: Du hast eine globale Voraussetzung [mm] ($A\subset B\wedge C\subset [/mm] D$) und musst eine Implikation [mm] $(x,y)\in (A\times C)\Rightarrow (x,y)\in (B\times [/mm] D)$ zeigen
Vor.: [mm] $A\subset B\wedge C\subset [/mm] D$
Beh.: [mm] $(A\times C)\subset (B\times [/mm] D)$
Bew.: du musst ja zeigen, dass für alle [mm] $(x,y)\in (A\times [/mm] C)$ gefälligst auch [mm] $(x,y)\in (C\times [/mm] D)$ ist
Also nimm dir so ein Paar [mm] $(x,y)\in (A\times [/mm] C)$ her
dh. [mm] $x\in A\wedge y\in C$\qquad [/mm] so ist [mm] "\times" [/mm] definiert
Nun benutze die Vor. und führe es wieder auf das kart. Produkt zurück
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
Hab ich das nicht gemacht? Ich denke ich habe es genau so gemacht wie du es erklärt hast. oder nicht?
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Hi nochmal,
ja, so ungefähr
Du hast schon den richtigen Weg eingeschlagen, aber in deinem 2. Schritt hast du dir ein [mm] $(x,y)\in A\times [/mm] C$ hergenommen und gesagt, dieses sei aus [mm] $B\times [/mm] D$
Zitat: Sei [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $y\in [/mm] C$, d.h. [mm] $(x,y)\in (A\times [/mm] C)$
und [mm] $x\in [/mm] B$ und [mm] $y\in [/mm] D$, dh. [mm] $(x,y)\in (B\times [/mm] D)$
Und genau das ist ja zu zeigen oder zumindest zu begründen, denn das ist ja genau die Aussage aus der AUfgabenstellung
Du hast dir richtigerweise so ein [mm] $(x,y)\in (A\times [/mm] C)$ hergenommen.
Dann begründe mit der vorausgesetzen Teilmengenbeziehung zwischen den Mengen, dass $(x,y)$ auch [mm] $\in (B\times [/mm] D)$ ist
Du meinst das Richtige, schreib es ein wenig sorgfältiger auf, dann passt es
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
Also ich versteh dich immer noch nicht ich habe doch geschrieben :
$ [mm] x\in [/mm] B $ und $ [mm] y\in [/mm] D $, dh. $ [mm] (x,y)\in (B\times [/mm] D) $
zeige ich damit nicht das [mm] (x,y)\in (B\times [/mm] D) ist?
Muss ich vielleicht auch:
Es sei $ [mm] x\in [/mm] B $ und $ [mm] y\in [/mm] D $, dh. $ [mm] (x,y)\in (B\times [/mm] D) $
schreiben?
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Hallo,
nein, nichts mit x sei aus B.
Das musst du folgern.
Du hast als Voraussetzungen nur die Teilmengenbeziehungen und dann im eigentlichen Beweis, dass [mm] $(x,y)\in (A\times [/mm] C)$ ist
Also:
Sei [mm] $(x,y)\in (A\times [/mm] C)$, also [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $y\in [/mm] C$
Dann FOLGT aufgrund der Beh. [mm] $x\in [/mm] B$, da [mm] $A\subset [/mm] B$ und ebenso [mm] $y\in [/mm] D$, wegen [mm] $C\subset [/mm] D$
Also auch [mm] $(x,y)\in B\times [/mm] D$
und damit [mm] $(A\times C)\subset (B\times [/mm] D)$
Deine Ideen waren ja alle ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") , du musst dich nur schön an die Formalitäten eines Beweises halten, wenn du's verewigst
Gruß
schachuzipus
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