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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:17 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Funkiller |
| Aufgabe | Sei M eine nicht leere Menge. Eine Teilmenge Z [mm] \subset [/mm] P(M) der Potenzmenge P(M)heißt eine Zerlegung von M, falls A [mm] \not= [/mm] 0 für alle A [mm] \varepsilon [/mm] Z, A [mm] \cap [/mm] B = 0 für alle A,B [mm] \varepsilon [/mm] mit A [mm] \not= [/mm] B und [mm] \bigcup_{A \varepsilon Z} [/mm] A=M. Zeigen sie:
a) Ist R eine Äquivalenzrelation auf M, so ist die Menge aller Äquivalenzklassen bezüglich R eine Zerlegung von M.
b) Ist Z eine Zerlegung von M, so ist
R := {(x,y) [mm] \varepsilon [/mm] M [mm] \times [/mm] M : es existiert ein A [mm] \varepsilon [/mm] Z mit x [mm] \varepsilon [/mm] A und y [mm] \varepsilon [/mm] A}
eine Äquivalenzrelation auf M. |
Kann mir i-wer die Lösung dazusagen?
Verzweifle schon seit zwei Tagen daran!
Bestenfalls mit Erklärung,dass man sie versteht.
Wäre aber auch schon über einen Tipp dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
für a) muß man zeigen, daß die Menge der Äquivalenzklassen eine Zerlegung von [mm]M[/mm] ist.
Im einzelnen:
Äquivalenzklassen sind nicht leer. Dies folgt aus der Definition von Äquivalenzklassen.
Ist [mm] $A\cap B\ne\emptyset$, [/mm] so ist $A=B$. Hierzu nimmst Du ein [mm] $a\in A\cap [/mm] B$ und zeigst [mm] $A\subset [/mm] B$ und [mm] $B\subset [/mm] A$. Hierzu brauchst Du die Transitivität von [mm]R[/mm].
Schließlich muß jedes Element von $M$ Element einer Äquivalenzklasse sein. Hierzu muß Du zu [mm] $a\in [/mm] M$ eine Äquivalenzklasse angeben, die $a$ enthält. Stichwort: Reflexivität von [mm]R[/mm].
Bei b) mußt du umgekehrt zeigen, daß [mm]R[/mm] reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
OK?
Wolfgang
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Nun muss ich doch eigentlich angeben, dass für a [mm] \varepsilon [/mm] M sei [a]={b [mm] \varepsilon [/mm] M: (a,b) [mm] \varepsilon [/mm] R} [mm] \subset [/mm] M
und dann, das eben a [mm] \varepsilon [/mm] [b] und umgekehrt b [mm] \varepsilon [/mm] [a]
Aber das ist doch keine Begründung bzw. ein Beweis dafür, dass die Menge aller Äquivalenzklassen bezüglich R eine Zerlegung von M ist, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 So 23.10.2011 | | Autor: | Helbig |
> Aber das ist doch keine Begründung bzw. ein Beweis dafür,
> dass die Menge aller Äquivalenzklassen bezüglich R eine
> Zerlegung von M ist, oder?
Nein. Wir müssen z. B zeigen, daß jede Äquivalenzklasse nichtleer ist. Wegen der Reflexivität von $R$ ist [mm] $a\in[a]$, [/mm] also ist [mm] $[a]\ne\emptyset$. [/mm] Da jede Äquivalenzklasse gleich $[a]$ für ein [mm] $a\in [/mm] M$ ist, ist dies schon mal erledigt.
Dann müssen wir zeigen, daß es zu jedem [mm] $a\in [/mm] M$ eine Äquivalenzklasse gibt, in der $a$ liegt. Dies ist, wieder wegen der Reflexivität von $R$, die Klasse $[a]$.
Dann müssen wir zeigen: Ist [mm] $[a]\cap [/mm] [b] [mm] \ne \emptyset$, [/mm] so ist $[a]=[b]$. Es gibt also ein [mm] $c\in [a]\cap[b]$. [/mm] Sei $d$ in $[a]$. Dann ist $(a, [mm] d)\in [/mm] R$ und $(a, [mm] c)\in [/mm] R$. Da $R$ symmetrisch ist, sind $(c, a)$ und $(a, d)$ in $R$ und da $R$ transitiv ist, folgt [mm] $(c,d)\in [/mm] R$. Nun ist wegen [mm] $c\in [/mm] [b]$ auch [mm] $(b,c)\in [/mm] R$, und mit der Transitivität folgt [mm] $(b,d)\in [/mm] R$, also [mm] $d\in[b]$. [/mm] Damit haben wir [mm] $[a]\subset [/mm] [b]$ gezeigt.
Wenn wir $a$ und $b$ vertauschen, folgt [mm] $[b]\subset [/mm] [a]$, insgesamt also $[a]=[b]$. Fertig.
OK?
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 So 23.10.2011 | | Autor: | Funkiller |
Ja klingt logisch auf den ersten Blick.
Werde mich nachher nochmal genauer damit auseinandersetzen, aber vielen Dank!
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