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| Aufgabe | a) Berechnen Sie [mm] z^{10} [/mm] für [mm] z=\bruch{1}{2}(\wurzel{3}-i). [/mm] Geben Sie das Ergebnis sowohl in algebraischer als auch in exponentieller Form an.
b) Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichungen [mm] z^4+8+8\wurzel{3}i=0. [/mm] Stellen Sie diese in algebraischer Form dar und skizzieren Sie sie in der Gaußschen Zahlenebene.
c) Skizzieren Sie die Menge {z [mm] \in \IC [/mm] | |z| - Re(z)=1} in der Gaußschen Zahlenebene. |
Hallo liebe Mathefreunde,
Aufg a) habe ich ganz gut hingekriegt.
da habe ich [mm] z^{10}=\bruch{1}{2}(1+i\wurzel{3})
[/mm]
und [mm] z^{10}=e^{\bruch{55}{3}\pi i} \hat= z^{10}=e^{\bruch{1}{3}\pi i}
[/mm]
b) passt eigentlich auch, meine Lösungen:
[mm] z_{1}=\bruch{1}{2}(\wurzel{3}+i)
[/mm]
[mm] z_{2}=-\bruch{1}{2}(1-\wurzel{3}i)
[/mm]
[mm] z_{3}=1
[/mm]
[mm] z_{4}=-\bruch{1}{2}(1+\wurzel{3}i)
[/mm]
das Problem ist das Skizzieren, wie mach ich das. Sowohl hier im b) Teil und umso mehr im c)Teil. Was soll ich denn da Skizzieren bzw. was sagt die Aussage aus in normalen Worten ( steht oben in Aufgabenstellung) aus?
PS: Gibt es hier eine Plotter-Fkt? hab keine gefunden...
Vielen Dank für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Sa 26.11.2011 | | Autor: | abakus |
> a) Berechnen Sie [mm]z^{10}[/mm] für [mm]z=\bruch{1}{2}(\wurzel{3}-i).[/mm]
> Geben Sie das Ergebnis sowohl in algebraischer als auch in
> exponentieller Form an.
>
> b) Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichungen
> [mm]z^4+8+8\wurzel{3}i=0.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Stellen Sie diese in algebraischer
> Form dar und skizzieren Sie sie in der Gaußschen
> Zahlenebene.
>
> c) Skizzieren Sie die Menge {z [mm]\in \IC[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| |z| - Re(z)=1} in
> der Gaußschen Zahlenebene.
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> Aufg a) habe ich ganz gut hingekriegt.
> da habe ich [mm]z^{10}=\bruch{1}{2}(1+i\wurzel{3})[/mm]
> und [mm]z^{10}=e^{\bruch{55}{3}\pi i} \hat= z^{10}=e^{\bruch{1}{3}\pi i}[/mm]
>
> b) passt eigentlich auch, meine Lösungen:
>
> [mm]z_{1}=\bruch{1}{2}(\wurzel{3}+i)[/mm]
>
> [mm]z_{2}=-\bruch{1}{2}(1-\wurzel{3}i)[/mm]
>
> [mm]z_{3}=1[/mm]
>
> [mm]z_{4}=-\bruch{1}{2}(1+\wurzel{3}i)[/mm]
>
> das Problem ist das Skizzieren, wie mach ich das. Sowohl
> hier im b) Teil
Hallo,
du wirst wohl noch 4 Punkte mit gegebenen Koordinaten zeichnen können?
> und umso mehr im c)Teil. Was soll ich denn
> da Skizzieren bzw. was sagt die Aussage aus in normalen
> Worten ( steht oben in Aufgabenstellung) aus?
zu c)
Schreibe z in der Form x+y*i und beseitige in der Gleichung
|z| - Re(z)=1 (also [mm] \sqrt{x^2+y^2}-x=1) [/mm] die Wurzel.
Ich vermute, man erhält etwas, das an eine Kegelschnittgleichung erinnert.
Gruß Abakus
>
> PS: Gibt es hier eine Plotter-Fkt? hab keine gefunden...
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
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>Hallo,
>du wirst wohl noch 4 Punkte mit gegebenen Koordinaten zeichnen können?
Hmm, muss ich dazu das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] mit dem rest verrechnen, dass ich auf die Form z=a+ib komme??
Sind das dann einfach nur einzelne Punkte oder Vektoren, wo ich r (die Länge) vom Ursprung zu z mit einzeichnen muss?
Danke :)
>zu c)
>Schreibe z in der Form x+y*i und beseitige in der Gleichung
>|z| - Re(z)=1 (also die Wurzel.
>Ich vermute, man erhält etwas, das an eine Kegelschnittgleichung >erinnert.
hmm, genau das kann ich bei c nicht, da ich die Aussage nicht verstehe. Es sind ja keine Aussagen.
Könntest du mir das in der Form z=a+ib aufzeigen?
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Sa 26.11.2011 | | Autor: | abakus |
> >Hallo,
> >du wirst wohl noch 4 Punkte mit gegebenen Koordinaten
> zeichnen können?
>
> Hmm, muss ich dazu das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] mit dem rest
> verrechnen, dass ich auf die Form z=a+ib komme??
>
> Sind das dann einfach nur einzelne Punkte oder Vektoren, wo
> ich r (die Länge) vom Ursprung zu z mit einzeichnen muss?
Hallo,
natürlich darf man laut Distributivgesetzt den Faktor vor der Klammer mit den beiden Summenden in der Klammer multiplizieren.
Das einzeichnen von Punkten (ohne Vektorpfeile) sollte genügen.
>
> Danke :)
> >zu c)
> >Schreibe z in der Form x+y*i und beseitige in der
> Gleichung
> >|z| - Re(z)=1 (also die Wurzel.
> >Ich vermute, man erhält etwas, das an eine
> Kegelschnittgleichung >erinnert.
>
> hmm, genau das kann ich bei c nicht, da ich die Aussage
> nicht verstehe. Es sind ja keine Aussagen.
>
> Könntest du mir das in der Form z=a+ib aufzeigen?
Ich habe z=x+i*y verwendet. Wenn du diese Darstellung nicht magst, ersetze mein x durch dein a und mein y durch dein b.
Und dann forme endlich die verdammte Gleichung so um, dass keine Wurzel mehr vorkommt.
Gruß Abakus
>
>
> Gruß Abakus
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>Hallo,
>natürlich darf man laut Distributivgesetzt den Faktor vor der Klammer mit den >beiden Summenden in der Klammer multiplizieren.
>Das einzeichnen von Punkten (ohne Vektorpfeile) sollte genügen.
ok, dann mach ich das in der Form.
>Ich habe z=x+i*y verwendet. Wenn du diese Darstellung nicht magst, >ersetze mein x durch dein a und mein y durch dein b.
>Und dann forme endlich die verdammte Gleichung so um, dass keine >Wurzel mehr vorkommt.
>Gruß Abakus
Was ist denn bei dir los? Ich bin dir zwar für deine Hilfe dankbar, aber wenn du keinen Spaß an der Sache hast, dann kannst du es doch auch lassen. Ich weiß ich tu mich gerade schwer und für dich ist das wahrscheinlich so einfach, dass du dir denkst "was ist das denn für ei Idiot", aber bei mir sitzt nun mal der Wurm und das versuche ich zu ändern.
Das war nicht das Problem. Ich weiß, dass z=x+iy das gleiche wie z=a+ib ist. Das Problem ist schlichtweg, dass ich die Aussage in c) nicht verstehe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Sa 26.11.2011 | | Autor: | abakus |
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> >Hallo,
> >natürlich darf man laut Distributivgesetzt den Faktor vor
> der Klammer mit den >beiden Summenden in der Klammer
> multiplizieren.
> >Das einzeichnen von Punkten (ohne Vektorpfeile) sollte
> genügen.
>
> ok, dann mach ich das in der Form.
>
> >Ich habe z=x+i*y verwendet. Wenn du diese Darstellung
> nicht magst, >ersetze mein x durch dein a und mein y durch
> dein b.
> >Und dann forme endlich die verdammte Gleichung so um, dass
> keine >Wurzel mehr vorkommt.
> >Gruß Abakus
>
> Was ist denn bei dir los? Ich bin dir zwar für deine Hilfe
> dankbar, aber wenn du keinen Spaß an der Sache hast, dann
> kannst du es doch auch lassen. Ich weiß ich tu mich gerade
> schwer und für dich ist das wahrscheinlich so einfach,
> dass du dir denkst "was ist das denn für ei Idiot", aber
> bei mir sitzt nun mal der Wurm und das versuche ich zu
> ändern.
>
> Das war nicht das Problem. Ich weiß, dass z=x+iy das
> gleiche wie z=a+ib ist. Das Problem ist schlichtweg, dass
> ich die Aussage in c) nicht verstehe.
Hallo,
es komplexe Zahlen, die die genannte Gleichung erfüllen, und andere komplexe Zahlen tun das nicht.
Die komplexen Zahlen, die die Gl. erfüllen, liegen irgendwo in der GZE.
Wenn du wissen willst, wo diese Punkte liegen (du sollst die Lage dieser Punkte ja skizzieren) dann musst du diese von dir zitierte Gleichung (mit z) in der von mir abgeänderten Form (mit x und y, wobei x der Realteil und y der Imaginärteil der gesuchten Zahlen ist) so lange umformen (z.B. mit dem Rechenbefehl "Quadrieren" -nachdem die Wurzel allein steht-), bis du eine Gleichung hast, aus der du einen Zusammenhang zwischen der x- und der y-Koordinate des GZE Punktes erkennt.
Jetzt mach einfach mal. Nimm meine Gleichung, isoliere die Wurzel und quadriere.
Gruß Abakus
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| Aufgabe | | c) Skizzieren Sie die Menge { [mm] z\in\IC| [/mm] |z| - Re(z)=1 } in der Gaußschen Zahlenebene. |
> Hallo,
> es komplexe Zahlen, die die genannte Gleichung erfüllen,
> und andere komplexe Zahlen tun das nicht.
> Die komplexen Zahlen, die die Gl. erfüllen, liegen
> irgendwo in der GZE.
> Wenn du wissen willst, wo diese Punkte liegen (du sollst
> die Lage dieser Punkte ja skizzieren) dann musst du diese
> von dir zitierte Gleichung (mit z) in der von mir
> abgeänderten Form (mit x und y, wobei x der Realteil und y
> der Imaginärteil der gesuchten Zahlen ist) so lange
> umformen (z.B. mit dem Rechenbefehl "Quadrieren" -nachdem
> die Wurzel allein steht-), bis du eine Gleichung hast, aus
> der du einen Zusammenhang zwischen der x- und der
> y-Koordinate des GZE Punktes erkennt.
> Jetzt mach einfach mal. Nimm meine Gleichung, isoliere die
> Wurzel und quadriere.
> Gruß Abakus
ok, jetzt habe ich das ganze verstanden. Aber die Sache ist, dass es eine Menge ist und kein z gegeben ist. Allgemein gehalten?
da habe ich das nun so gemacht:
[mm] \wurzel{x^2+y^2}-x=1
[/mm]
x+y-x=1
y=1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Sa 26.11.2011 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> c) Skizzieren Sie die Menge { [mm]z\in\IC|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
|z| - Re(z)=1 } in
> der Gaußschen Zahlenebene.
> > Hallo,
> > es komplexe Zahlen, die die genannte Gleichung
> erfüllen,
> > und andere komplexe Zahlen tun das nicht.
> > Die komplexen Zahlen, die die Gl. erfüllen, liegen
> > irgendwo in der GZE.
> > Wenn du wissen willst, wo diese Punkte liegen (du
> sollst
> > die Lage dieser Punkte ja skizzieren) dann musst du diese
> > von dir zitierte Gleichung (mit z) in der von mir
> > abgeänderten Form (mit x und y, wobei x der Realteil und y
> > der Imaginärteil der gesuchten Zahlen ist) so lange
> > umformen (z.B. mit dem Rechenbefehl "Quadrieren" -nachdem
> > die Wurzel allein steht-), bis du eine Gleichung hast, aus
> > der du einen Zusammenhang zwischen der x- und der
> > y-Koordinate des GZE Punktes erkennt.
> > Jetzt mach einfach mal. Nimm meine Gleichung, isoliere
> die
> > Wurzel und quadriere.
> > Gruß Abakus
>
> ok, jetzt habe ich das ganze verstanden. Aber die Sache
> ist, dass es eine Menge ist und kein z gegeben ist.
> Allgemein gehalten?
>
> da habe ich das nun so gemacht:
>
> [mm]\wurzel{x^2+y^2}-x=1[/mm]
> x+y-x=1
> y=1
Das ist ziemlich schlimm falsch. Aus [mm]\wurzel{x^2+y^2}-x=1[/mm] würde durch sofortiges Quadrieren (binomische Formel!!!)
[mm](\wurzel{x^2+y^2})^2-2*\wurzel{x^2+y^2}*x+x^2=1^2[/mm] entstehen. Das Unangenehme daran: Die Wurzel ist immer noch da.
In [mm]\wurzel{x^2+y^2}-x=1[/mm] rechnen wir erst auf beiden Seiten "+x" und erhalten
[mm]\wurzel{x^2+y^2}=1+x[/mm] .
Jetzt kannst du quadrieren.
Gruß Abakus
>
>
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[mm] \wurzel{x^2+y^2}=1+x
[/mm]
[mm] x^2+y^2=1+x^2
[/mm]
[mm] y^2=1
[/mm]
[mm] y\pm1 [/mm] ??
Oh man, irgendwie bin ich jetzt komplett durcheinander..
durch das sofortige quadrieren, würde sich doch die Wurzel lösen und die anderen Variablen würden halt [mm] ein^2 [/mm] bekommen, hat doch nichts mit der bin.Formel zu tun? ...
kannst du mir vllt einfach zeigen, wie du es machen würdest? vllt wird mir das ganze durch den Rechenweg klar...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Sa 26.11.2011 | | Autor: | abakus |
> [mm]\wurzel{x^2+y^2}=1+x[/mm]
> [mm]x^2+y^2=1+x^2[/mm]
> [mm]y^2=1[/mm]
> [mm]y\pm1[/mm] ??
>
> Oh man, irgendwie bin ich jetzt komplett durcheinander..
>
> durch das sofortige quadrieren, würde sich doch die Wurzel
> lösen
Ja.
> und die anderen Variablen würden halt [mm]ein^2[/mm]
> bekommen, hat doch nichts mit der bin.Formel zu tun? ...
Hallo
wenn du den Ausdruck (x+1) quadrierst, hat das sehr wohl etwas mit binomischer Formel zu tun. Da kommt nicht nur [mm] x^2+1 [/mm] raus.
Wir erhalten also
[mm] x^2+y^2=x^2+2x+1
[/mm]
und daraus
[mm] y^2=2x+1.
[/mm]
Das ist eine Parabel, und die musst du skizzieren.
Gruß Abakus
>
> kannst du mir vllt einfach zeigen, wie du es machen
> würdest? vllt wird mir das ganze durch den Rechenweg
> klar...
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> Hallo
> wenn du den Ausdruck (x+1) quadrierst, hat das sehr wohl
> etwas mit binomischer Formel zu tun. Da kommt nicht nur
> [mm]x^2+1[/mm] raus.
> Wir erhalten also
> [mm]x^2+y^2=x^2+2x+1[/mm]
> und daraus
> [mm]y^2=2x+1.[/mm]
> Das ist eine Parabel, und die musst du skizzieren.
> Gruß Abakus
ahhh ok vielen Dank! Aber muss ich die Gleichung nicht vorher auf diese Form bringen, bevor ich sie skizziere? (ohne [mm] y^2)
[/mm]
y= [mm] \wurzel{2x+1}
[/mm]
und diesesn Ausdruck skizzieren? Außerdem: Ist das noch eine Skizze in der Gaußsche Zahlenebene? es ist ja kein i mehr vorhanden, demnach müsste es doch in ein normales KS skizziert werden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 So 27.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo
> > wenn du den Ausdruck (x+1) quadrierst, hat das sehr
> wohl
> > etwas mit binomischer Formel zu tun. Da kommt nicht nur
> > [mm]x^2+1[/mm] raus.
> > Wir erhalten also
> > [mm]x^2+y^2=x^2+2x+1[/mm]
> > und daraus
> > [mm]y^2=2x+1.[/mm]
> > Das ist eine Parabel, und die musst du skizzieren.
> > Gruß Abakus
>
> ahhh ok vielen Dank! Aber muss ich die Gleichung nicht
> vorher auf diese Form bringen, bevor ich sie skizziere?
> (ohne [mm]y^2)[/mm]
>
> y= [mm]\wurzel{2x+1}[/mm]
Wenn schon, dann y= [mm] \pm[/mm] [mm]\wurzel{2x+1}[/mm]
> und diesesn Ausdruck skizzieren? Außerdem: Ist das noch
> eine Skizze in der Gaußsche Zahlenebene? es ist ja kein i
> mehr vorhanden, demnach müsste es doch in ein normales KS
> skizziert werden?
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 So 27.11.2011 | | Autor: | abakus |
> > > Hallo
> > > wenn du den Ausdruck (x+1) quadrierst, hat das sehr
> > wohl
> > > etwas mit binomischer Formel zu tun. Da kommt nicht nur
> > > [mm]x^2+1[/mm] raus.
> > > Wir erhalten also
> > > [mm]x^2+y^2=x^2+2x+1[/mm]
> > > und daraus
> > > [mm]y^2=2x+1.[/mm]
> > > Das ist eine Parabel, und die musst du skizzieren.
> > > Gruß Abakus
> >
> > ahhh ok vielen Dank! Aber muss ich die Gleichung nicht
> > vorher auf diese Form bringen, bevor ich sie skizziere?
> > (ohne [mm]y^2)[/mm]
> >
> > y= [mm]\wurzel{2x+1}[/mm]
>
> Wenn schon, dann y= [mm]\pm[/mm] [mm]\wurzel{2x+1}[/mm]
>
> > und diesesn Ausdruck skizzieren? Außerdem: Ist das noch
> > eine Skizze in der Gaußsche Zahlenebene? es ist ja kein i
> > mehr vorhanden, demnach müsste es doch in ein normales KS
> > skizziert werden?
>
> Ja
>
> FRED
>
Hallo,
im Prinzip sind wir immer noch in der GZE.
Bei der komplexen Zahl (beispielsweise) 2+5i ist 2 der Realteil und 5 (nicht 5i) der Imaginärteil. Trotzdem steht der Punkt (2|5) für die komplexe Zahl 2+5i.
Gruß Abakus
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