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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Di 16.05.2006 | | Autor: | Marionne |
| Aufgabe | Sei f: C->C mit f(z) = Z² und M1, M2 aus Aufgabe drei. Skizzieren Sie die folgenden Mengen
a) f(M1)
b) f (M2) in der Gaußschen Zahlenebene
Tipp: Berechnen und zeichnen Sie f(1), f(i) und f(-1) in a) und f(-1) und f(i) in Teil b). |
Die einfachen Mengen [mm] $M_1=\{z \in \IC \left| \ \ |z|\le 1, Im (z) \ge 0 \}$ [/mm] und [mm] $M_2= \{z\in\IC \ \left| \ |Re(z)| = |z|\}$ [/mm] habe ich in der letzten Aufgabe schon gezeichnet
(ACHTUNG: DIE BEI M1 UND M2 GEZEICHNETEN STRICHE SOLLEN EIGENTLICH ALLE GERADE SEIN, ABER ICH WUSSTE NICHT, WIE ICH DAS AM COMPUTER MACHEN SOLL).
Bei M1 kam ich auf einen einen Halbkreis (halber einheitskreis )oberhalb der x-Achse, weil der Imaginärteil ja nicht negativ sein soll und der Betrag von z nicht größer als 1 wird.
Bei M2 kam ich darauf, dass die gesamte x -Achse für z in Frage kommt. Denn z soll ja nur aus dem Realteil bestehen.
Mein PROBLEM ist nur, wenn ich Z wegen f(Z) =Z² jetzt quardriere kommt bei meiner neuen Zeichnung von M1 und M2 wieder genau das Gleiche heraus wie das was ich vorher schon gezeichnet habe. Verändert die Funktion f(Z) =Z² M1 und M2 wirklich nicht, oder mache ich hier etwas komplett falsch? Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Grüße von Marionne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Marionne!
Die graphischen Gebilde für die ursprünglichen Mengen [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] habe ich auch erhalten.
Für [mm] $f(M_1)$ [/mm] bzw. [mm] $f(M_2)$ [/mm] erhalte ich jedoch andere Flächen u.ä.
Hast Du denn auch zunächst die komplexe Zahl $z \ = \ x+i*y$ quadriert?
Ich zeige Dir mal die erste Aufgabe:
$z \ = \ x+i*y$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f(z) \ = \ [mm] z^2 [/mm] \ = \ [mm] (x+i*y)^2 [/mm] \ = \ [mm] x^2+i*2xy-y^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x^2-y^2\right)+i*2xy$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\left|f(z)\right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(x^2-y^2\right)^2+(2xy)^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x^4+2x^2y^2+y^4} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(x^2+y^2\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] x^2+y^2 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$
Wir haben also wieder den Einheitskreis!
$Im[f(z)] \ = \ [mm] Im\left[z^2\right] [/mm] \ = \ 2xy \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x*y \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
Und ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann größer-gleich Null, wenn enstweder beide Faktoren größer-gleich Null sind oder beide Faktoren kleiner-gleich Null.
Der gesuchte Bereich besteht also aus den Viertelkreisen des Einheitskreises im 1. Quadranten sowie im 3. Quadranten.
Bei der 2. Aufgabe ähnlich vorgehen. Allerdings musst Du am Ende eine Fallunterscheidung $|x| \ [mm] \ge [/mm] \ |y|$ bzw. $|x| \ < \ |y|$ durchführen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 16.05.2006 | | Autor: | metzga |
Hallo Roadrunner,
du machst da einen Fehler. Die Menge M1 ist fest gegeben, eben mit den Bedingungen
|z|<1 und Im(z)>=0.
Gesucht ist also f(M1) . Du quadriest erst ganz C und dann wendest du die beiden Bedingungen
an, dass ist genau verkehrt herum.
Also mal zur Vorstellung des Gebildes. M1 ist ja der Halbkreis mit radius 1 und im 1. und 2. Quadranten.
Jede Zahl in C kann man auch in Polarkoordinaten angeben,
was ja das Multiplizieren vereinfacht.
[mm]z=x+i*y=r*\mathrm{e}^{i*\phi}[/mm]
[mm]M_1 = (r*\mathrm{e}^{i*\phi}| 0 \le \phi \le 180°, r \le 1)[/mm]
Wenn du jetzt quadriest: [mm]f(z)=r^2*\mathrm{e}^{i*2*\phi}[/mm]
Also der Radius ändert sich nicht, weil r² immer noch kleiner 1 ist, aber der Winkel
verdoppelt sich. Also ist f(M1) der komplette Einheitskreis.
MfG
metzga
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Marionne |
Hallo Metzga, vielen Dank für deine Antwort. Bei f(M2) kommt dann aber bei mir raus, dass es genauso aussiehr wie M2, weil ich den Winkel der bei M2 ja null ist verdoppel und er null bleibt, also nur Werte auf der x-Achse. Problem ist nur, dass die Tipps die wir in der Aufgabenstellung gekriegt haben sich so nicht anwenden lassen. Bei f (i²) =-1 und f(-1²) = 1 erhalte ich dann also einmal einen Pfeil in den negativen Imaginärbereich und einmal wieder einen in den positiven, beider sind 1 weil sie wieder auf dem Einheitskreis liegen, richtig so? Aber bei f (M2) soll ich f (i) und f(-i) berechnen, erhalte also negative Werte,die nicht in dem liegen, was ich für f (M2) mit Polarkoordinaten eigentlich ausgerechnet hatte- Sie liegen stattdessen doch unterhalb der x-Achse. Was nun? Was habe ich falsch gemacht?
Viele Grüße von Marionne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Mi 17.05.2006 | | Autor: | metzga |
Hallo Marionne,
> Hallo Metzga, vielen Dank für deine Antwort. Bei f(M2)
> kommt dann aber bei mir raus, dass es genauso aussiehr wie
> M2, weil ich den Winkel der bei M2 ja null ist verdoppel
> und er null bleibt, also nur Werte auf der x-Achse.
halt, M2 ist die komplette x-Achse. Bei positive Werten ist der Winkel null da
geb ich dir recht. Aber bei negativen Werten ist der Winkel [mm]\pi[/mm]
[mm]-1=\mathrm{e}^{i*\pi}[/mm]
damit verdoppelt sich der Winkel.
Ist ja auch logisch so, da M2 = [mm]\mathbb{R}[/mm], ist die Funktion f genau wie im reellen
und da gilt auch [mm]f(x)=x^2; f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+_0[/mm]
Also bei dir gilt f(M2) ist der nicht negative Bereich der x-Achse.
> Problem
> ist nur, dass die Tipps die wir in der Aufgabenstellung
> gekriegt haben sich so nicht anwenden lassen. Bei f (i²)
> =-1 und f(-1²) = 1 erhalte ich dann also einmal einen Pfeil
> in den negativen Imaginärbereich und einmal wieder einen in
> den positiven, beider sind 1 weil sie wieder auf dem
> Einheitskreis liegen, richtig so? Aber bei f (M2) soll ich
> f (i) und f(-i) berechnen, erhalte also negative Werte,die
> nicht in dem liegen, was ich für f (M2) mit
> Polarkoordinaten eigentlich ausgerechnet hatte- Sie liegen
> stattdessen doch unterhalb der x-Achse. Was nun? Was habe
> ich falsch gemacht?
> Viele Grüße von Marionne
Nochmal zur Funktion z². Wenn du alles in Polarkoordinaten nochmal
betrachtest und die Länge des Vektor mal weg lässt.
z² verdoppelt den Winkel.
Der positive Teil der imagäre Achse hat den Winkel [mm]\frac{\pi}{2}[/mm].
Nach der Verdoppelung dreht sich die Achse im negativen Teil der reellen Achse.
Der negative Teil der imaginären Achse hat den Winkel [mm]\frac{3*\pi}{2}[/mm].
Nach Verdoppelung ist der Winkel [mm]2*\frac{3\pi}{2}[/mm]. Da sich ja nach [mm]2*\pi[/mm]
die Vektoren wiederholen entspricht der obige Winkel dem Winkel [mm]\pi[/mm].
Also zusammenfassend, die Abbilding f(z)= z² projeziert die imaginär Achse auf [mm]\mathbb{R}^-_0[/mm] und die reelle Achse auf [mm]\mathbb{R}^+_0[/mm].
Ich hoffe jetzt ist es klar geworden.
MfG
metzga
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