Mengen und Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Fr 29.09.2006 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Seien [mm] M [/mm] und [mm] N [/mm] Mengen und sei [mm]f:M\rightarrow N [/mm] eine Abbildung. Für eine Teilmenge [mm] X [/mm] von [mm] M [/mm] bezeichnen wir mit [mm] f(X) [/mm] die Menge [mm] f(X):= \{n \in \ N | \ n =f(x) [/mm] für ein [mm] x \in \ X \} [/mm], und für eine Teilmenge [mm] Y [/mm] von [mm] N [/mm] bezeichnen wir mit [mm] U(Y) [/mm] die Menge [mm] U(Y):=\{m\in \ M | f(m) \in \ Y \} [/mm].
Seien [mm] M_1, M_2 \subseteq M [/mm] und [mm] N_1, N_2 \subseteq N[/mm].
Wahr oder falsch ? (es folgen dann 10 Aussagen, ich mal 3 herausgepickt)
1. Ist [mm] M_1 \subseteq M_2 [/mm], so folgt [mm] f(M_1) \subseteq f(M_2) [/mm].
2. Es gilt [mm] M_1 \subseteq U(f(M_1)) [/mm].
3. Es gilt [mm] f(U(N_1)) \subseteq N_1 [/mm].
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Vorab: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Bei dieser Aufgabe muss ich zu 10 Aussagen angeben, ob sie wahr oder falsch sind. Da ich aber die Definition der Mengen noch nicht verstehe, kann ich die Aussagen nicht bearbeiten:
Beinhaltet die Teilmenge X genau 1 Element aus M, das auch in N existiert ?
Ist die Teilmenge Y = Menge N, da sie ja aus der Abbildung aus M entsteht ?
1. richtig ? Weil die gleiche Abbildung auf die beiden Mengen angewandt wird ?
2. und 3. verstehe ich leider überhaupt nicht mehr !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Fr 29.09.2006 | | Autor: | Leon23 |
Hallo Susanne,
versuchen wir uns erst nochmal die Definition der Mengen klar zu machen, danach dürftest du die Aussagen beantworten können. Ich formulier es einfach einmal um:
$f(X)$ bezeichnet einfach das Bild der Menge $X$ unter der Abbildung $f$ in der Bildmenge $N$, d.h. in $f(X)$ sind alle Elemente von [mm] $n\in [/mm] N$ für die es ein [mm] $x\in [/mm] X$ gibt mit $f(x)=n$. Nehmen wir z.B. [mm] $X=N=\IZ$ [/mm] und [mm] $f(x)=x^2$. [/mm] Dann ist die Bildmenge $f(X)$ gerade die nat. Zahlen.
Nun zu $U(Y)$ das ist die Urbildmenge der Abbildung $f$, wird gern auch mit [mm] $f^{-1}(Y)$ [/mm] bezeichnet (! nicht mit der Umkehrabbildung verwechseln !). Das sind nun gerade alle [mm] $m\in [/mm] M$, welche ihr Bild in $Y$ haben, also [mm] $f(m)=y\in [/mm] Y$.
Deine erste Aussage ist schon mal richtig, nur die Begründung könnte besser sein. Die mdl. Begründung klänge in etwa so: Wenn ich das Bild einer größeren Menge bilde, dann ist das Bild der kleineren Menge mit drin, weil ja nur noch Bilder hinzu kommen können. So in etwa funktioniert auch der formale Beweis:
Wir müssen zeigen das für ein [mm] $f(m_1)\in f(M_1)$ [/mm] folgt das [mm] $f(m_1)\in f(M_2)$. [/mm] Schreiben wir einfach mal hin was das heißt
[mm] $$f(m_1)\in f(M_1) \gdw f(m_1)\in \{ f(x) \in N | x\in M_1\subseteq M_2\} \Rightarrow f(m_1)\in \{f(x)\in N | x \in M_2\}$$
[/mm]
und fertig sind wir.
Ich hab hier eine abgewandelte Definition der Menge $f(X)$ verwendet, aber die dasselbe aussagte, in ner Art Kurzform: [mm] $f(X)=\{ f(x)\in N | x\in X\}$ [/mm] und für $U(Y)$ würde ich die Definition nehmen, die du auch schon kennst, also [mm] $U(Y)=\{ m\in M | f(m)\in Y\}$.
[/mm]
Jetzt müsstest du mit dem Rest allein klar kommen. Zuerst überlegen ob das ein kann, wenn nein Gegenbeispiel, oft geht so was mit positiven und negativen reellen Zahlen und [mm] $x^2$, [/mm] wenn ja dann formaler Beweis, links anfangen und einfach immer die Definition und Voraussetzungen einsetzen, solange bis man rechts ankommt. Viel Spaß beim beweisen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Fr 29.09.2006 | | Autor: | SusanneK |
Hallo André,
vielen vielen Dank für deine Hilfe und deine ausführliche Antwort !!
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist [mm] U(Y) [/mm] die Menge [mm] M [/mm] !?
In deinem Beispiel ist [mm] X=N=\IZ [/mm].
Ist [mm] X [/mm] nicht eher eine Teilmenge von [mm] N [/mm] ?
Nr 2 : Ist das gleichbedeutend mit [mm] M_1 \subseteq M_1 [/mm] und ist die Aussage dann falsch, weil es "=" heissen müsste ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Sa 30.09.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Susanne,
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, ist [mm]U(Y)[/mm] die Menge [mm]M[/mm]
> !?
Wenn Y = N ist, dann hast Du recht. Wenn Y allerdings nicht ganz N umfasst, sondern eine echte Teilmenge ist, dann kann auch U(Y) eine Teilmenge von M sein - eben alle Elemente, deren Bilder unter f in Y liegen. Sprich: ist [mm] m\in [/mm] M und [mm] f(m)\not\in [/mm] Y , dann ist m [mm] \not\in [/mm] U(Y).
> In deinem Beispiel ist [mm]X=N=\IZ [/mm].
> Ist [mm]X[/mm] nicht eher eine
> Teilmenge von [mm]N[/mm] ?
Da weiss ich jetzt nicht ganz, was Du meinst...
Grundsätzlich müssen die Mengen X und N aus Deiner Aufgabe gar nichts miteinander zu tun haben - z.B. könnte X eine Menge von Schülern und N die Menge der möglichen Noten sein, da ist weder X eine TEilmenge von N noch umgekehrt.
Wenn Du Dich konkret auf Andrés Beispiel beziehst: Da hat er die Mengen X und N einfach willkürlich festgelegt, er kann sie dann durchaus auch "gleich groß" wählen.
>
> Nr 2 : Ist das gleichbedeutend mit [mm]M_1 \subseteq M_1[/mm] und
> ist die Aussage dann falsch, weil es "=" heissen müsste ?
>
1. Frage: nein. Betrachte mal Andrés Beispiel und wähle [mm] M_1=\{1\}. [/mm] Was ist dann [mm] U(f(M_1))?
[/mm]
2. Frage: nein, denn [mm] \subseteq [/mm] beinhaltet ja auch den Fall =.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 01.10.2006 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Piet,
vielen vielen Dank für Deine Anwort und Hilfe !
Da ich gerade unterwegs bin, antworte ich leider erst so spät, und weiss auch leider nicht genau, wann ich wieder ins Internet kann.
Ich glaube, ich habe es jetzt besser verstanden - vielen Dank.
[mm] f(x) = x^2 [/mm], 1 wird auf 1 abgebildet.
Wenn ich [mm] M_1 = {1} [/mm] setze, bedeutet das, das Urbild von 1 ist 1, also [mm] 1 \subseteq 1 [/mm] ist wahr.
Stimmt meine Erklärung ?
Und wenn ich für die Aufgabe [mm] f(U(N_1)) \subseteq N_1 [/mm] für [mm] N_1 = 4 [/mm] wähle, dann würde das bedeuten:
Das Urbild von 4 ist 2. Die Abbildung von 2 ist 4. 4 ist eine Teilmenge von 4, also stimmt die Aussage.
Stimmt das auch ?
Lieben Gruss, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 So 01.10.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Susanne,
> Hallo Piet,
> vielen vielen Dank für Deine Anwort und Hilfe !
> Da ich gerade unterwegs bin, antworte ich leider erst so
> spät, und weiss auch leider nicht genau, wann ich wieder
> ins Internet kann.
>
> Ich glaube, ich habe es jetzt besser verstanden - vielen
> Dank.
Das freut mich!
>
> [mm]f(x) = x^2 [/mm], 1 wird auf 1 abgebildet.
> Wenn ich [mm]M_1 = {1}[/mm] setze, bedeutet das, das Urbild von 1
> ist 1, also [mm]1 \subseteq 1[/mm] ist wahr.
Unser Definitionsbereich ist [mm] \IZ. [/mm] DAnn ist das Urbild von 1 aber nicht nur 1, sondern es gibt noch eine andere Zahl, die ebenfalls auf 1 abgbildet wird (Preisfrage: welche denn?  . Was bedeutet das dann für die Aussage?
>
> Stimmt meine Erklärung ?
>
> Und wenn ich für die Aufgabe [mm]f(U(N_1)) \subseteq N_1[/mm] für
> [mm]N_1 = 4[/mm] wähle, dann würde das bedeuten:
> Das Urbild von 4 ist 2. Die Abbildung von 2 ist 4. 4 ist
> eine Teilmenge von 4, also stimmt die Aussage.
Statt "die Abbildung" solltest Du lieber "das Bild" sagen. Auch hier ist Dein Urbild aber weider etwas zu klein geraten.
>
> Stimmt das auch ?
>
> Lieben Gruss, Susanne.
>
Noch etwas grundsätzliches (André hat das zwar schon angesprochen, ist aber vielleicht etwas untergegangen): Das Arbeiten mit Beispielen ist (fast) immer ein guter Weg sich zu überlegen, ob solche Aussagen wahr oder falsch sind. Wenn die Aussage falsch ist, dann reicht die Angabe eines Gegenbeispiels, d.h. hier ist man mit der Angabe eines Beispiels auch fertig. Sollte man aber zu dem Ergebnis kommen, dass die Aussage wahr ist, dann reicht ein Beispiel als Begründung nicht aus sondern man muss einen allgemeinen Beweis führen (wobei ich nicht sagen kann, ob das in der Aufgabe unbedingt gefordert war).
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mi 04.10.2006 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Piet,
wieder zuerst einmal VIELEN VIELEN Dank für Deine Hilfe !
Ich dachte, ich habe es verstanden, aber jetzt merke ich, dass ich doch noch sehr an der Oberfläche kratze.
Ich muss (noch !) keine Beweisführung antreten, ich fürchte, das kann ich auch noch nicht so gut - wobei ich es für die Lösung der 10 Aufgaben wahrscheinlich beherrschen müsste.
Ok, neuer Versuch: [mm] -1^2 [/mm] ergibt auch 1, d.h., die Urbilder von [mm] f(M_1) [/mm] sind 1 und -1.
-1 [mm] \subseteq 1, -1 [/mm] ist also wahr, und für [mm] M_1 [/mm] = 1 stimmt die Aussage auch.
Bei [mm] f(U(N_1)) \subseteq N_1 [/mm] komme ich auf folgendes:
Ich setze [mm] N_1 [/mm] = 4, dann sind die Urbilder 2 und -2, das Bild von 2 und -2 ist wieder 4.
Dann bedeutet die Aussage 4 [mm] \subseteq 4 [/mm] und das ist auch wahr.
Und wenn die Aussage nur heissen würde:
[mm] U(N_1) \subseteq N_1 [/mm]
wäre die Aussage falsch, weil 2, -2 [mm] \subseteq 4 [/mm] ist falsch.
Stimmen meine Überlegungen jetzt, oder sind sie noch zu simpel ?
(Bin noch unterwegs, aber bei jeder Gelegenheit im Internet)
Vielen Dank und lieben Gruss, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mi 04.10.2006 | | Autor: | piet.t |
> Hallo Piet,
> wieder zuerst einmal VIELEN VIELEN Dank für Deine Hilfe !
> Ich dachte, ich habe es verstanden, aber jetzt merke ich,
> dass ich doch noch sehr an der Oberfläche kratze.
>
> Ich muss (noch !) keine Beweisführung antreten, ich
> fürchte, das kann ich auch noch nicht so gut - wobei ich es
> für die Lösung der 10 Aufgaben wahrscheinlich beherrschen
> müsste.
>
> Ok, neuer Versuch: [mm]-1^2[/mm] ergibt auch 1, d.h., die Urbilder
> von [mm]f(M_1)[/mm] sind 1 und -1.
> -1 [mm]\subseteq 1, -1[/mm] ist also wahr, und für [mm]M_1[/mm] = 1 stimmt
> die Aussage auch.
Erstmal kurz zur Schreibweise: Mengen haben entweder einen Namen (wie in der Aufgabenstellung) oder - wenn man sie beschreibt oder aufzählt wie in Deinem Fall - geschweifte Klammern. Sprich: Du solltest besser[mm][mm] \{-1}\subseteq\{1,-1\} [/mm] schreiben.
So, den Fall [mm] M_1 [/mm] = {1} hätten wir damit erschöpfend behandelt. Aber weil ein Beispiel immer etwas wenig ist um solche Fragen zu betrachten geb ich Dir einfach noch ein paar Mengen zum Ausprobieren:
1.) [mm] M_1 [/mm] = {0}
2.) [mm] M_1 [/mm] = {-1}
3.) [mm] M_1 [/mm] = {2,3}
>
> Bei [mm]f(U(N_1)) \subseteq N_1[/mm] komme ich auf folgendes:
> Ich setze [mm]N_1[/mm] = 4, dann sind die Urbilder 2 und -2, das
> Bild von 2 und -2 ist wieder 4.
> Dann bedeutet die Aussage 4 [mm]\subseteq 4[/mm] und das ist auch
> wahr.
...zumindest für dieses Beispiel. Wie bei der vorigen Aussage empfiehlt es sich auch hier mal ein paar (möglichst unterschiedliche) Fälle durchzuprobieren um ein besseres Gefühl für die Richtigkeit der Aussage zu haben.
> Und wenn die Aussage nur heissen würde:
> [mm]U(N_1) \subseteq N_1[/mm]
> wäre die Aussage falsch, weil 2, -2 [mm]\subseteq 4[/mm] ist
> falsch.
Hier nochmal die Warnung: Definitions- und Wertebereich der Funktion können ganz verschiedene Mengen sein, dass es bei uns beide Male Zahlen sind ist reiner Zufall. So allgemein wie die Aufgaben gestellt sind macht es also keinen Sinn, Mengen aus dem Definitionsbereich (also z.B. [mm] U(N_1) [/mm] ) mit Mengen aus dem Wertebereich (also z.B. X) zu vergleichen, denn das eine könnte ja eine Menge von Äpfeln, das andere eine Menge von Obstkörben sein....
>
> Stimmen meine Überlegungen jetzt, oder sind sie noch zu
> simpel ?
Ich denke wir sind auf dem richtigen Weg, letztendlich braucht man wohl einfach ein bisschen Übung um ein gewisses Gefühl für solche Sachverhalte zu entwickeln.
>
> (Bin noch unterwegs, aber bei jeder Gelegenheit im
> Internet)
>
> Vielen Dank und lieben Gruss, Susanne.
>
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Sa 07.10.2006 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Piet, wieder erst mal VIELEN VIELEN Dank für Deine Hilfe !
Also, die 3 Beispiele:
[mm] M_1 [/mm] = {0}
[mm] 0^2 [/mm] = 0, das Urbild von 0 ist 0, also ist die Aussage
{0} [mm] \subseteq [/mm] {0} wahr.
[mm] M_1 [/mm] = {-1}
[mm] -1^2 [/mm] = 1, das Urbild von 1 ist 1 und -1, also ist die Aussage
{-1} [mm] \subseteq [/mm] {1, -1} wahr.
[mm] M_1 [/mm] = {2,3}
[mm] 2^2 [/mm] = 4, [mm] 3^2 [/mm] = 9, die Urbilder der 2 Elemente sind {2, -2, 3, -3}, also ist
die Aussage
{2, 3} [mm] \subseteq [/mm] {2, -2, 3, -3} wahr.
Jetzt wähle ich bei dem nächsten Beispiel mal folgende Abbildung:
Schüler und Noten (wie Du es schon mal erwähnt hast)
Anton-Note 1, Berta-Note 1, Doris-Note 3, Egon-Note 4, Ferdi-Note 4
Definitionsbereich: Anton, Berta, Doris, Egon, Ferdi
Wertebereich: 1, 2, 3, 4, 5, 6
[mm] f(U(N_1)) \subseteq N_1 [/mm]
Dann ist [mm] N_1 [/mm] = {1, 3, 4}, die Urbilder davon sind {Anton, Berta, Doris, Egon, Ferdi} und deren Bilder sind wieder die Menge {1, 3, 4}. Damit wäre die Aussage wahr, man kann sogar sagen:
[mm] f(U(N_1)) = N_1 [/mm]
Oder ist die Überlegung falsch, weil [mm] N_1 [/mm] = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ist ?
Lieben Gruss, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Sa 07.10.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Susanne,
> Hallo Piet, wieder erst mal VIELEN VIELEN Dank für Deine
> Hilfe !
>
> Also, die 3 Beispiele:
> [mm]M_1[/mm] = {0}
> [mm]0^2[/mm] = 0, das Urbild von 0 ist 0, also ist die Aussage
> {0} [mm]\subseteq[/mm] {0} wahr.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]M_1[/mm] = {-1}
> [mm]-1^2[/mm] = 1, das Urbild von 1 ist 1 und -1, also ist die
> Aussage
> {-1} [mm]\subseteq[/mm] {1, -1} wahr.
>
> [mm]M_1[/mm] = {2,3}
> [mm]2^2[/mm] = 4, [mm]3^2[/mm] = 9, die Urbilder der 2 Elemente sind {2, -2,
> 3, -3}, also ist
> die Aussage
> {2, 3} [mm]\subseteq[/mm] {2, -2, 3, -3} wahr.
>
> Jetzt wähle ich bei dem nächsten Beispiel mal folgende
> Abbildung:
> Schüler und Noten (wie Du es schon mal erwähnt hast)
> Anton-Note 1, Berta-Note 1, Doris-Note 3, Egon-Note 4,
> Ferdi-Note 4
> Definitionsbereich: Anton, Berta, Doris, Egon, Ferdi
> Wertebereich: 1, 2, 3, 4, 5, 6
> [mm]f(U(N_1)) \subseteq N_1[/mm]
> Dann ist [mm]N_1[/mm] = {1, 3, 4}, die
> Urbilder davon sind {Anton, Berta, Doris, Egon, Ferdi} und
> deren Bilder sind wieder die Menge {1, 3, 4}. Damit wäre
> die Aussage wahr, man kann sogar sagen:
> [mm]f(U(N_1)) = N_1[/mm]
In diesem Fall ja. Beachte aber, dass [mm] N_1 [/mm] eine beliebig gewählte Teilmenge von [mm] N=\{1,2,3,4,5,6\} [/mm] sein kann - also geht z.B. auch [mm] N_1={1,2}. [/mm] Damit gilt dann die Gleichheit bei dieser Aussage nicht mehr (wie Du jetzt ja ganz leicht feststellen kannst) und man braucht wirklich [mm] \subseteq
[/mm]
>
> Oder ist die Überlegung falsch, weil [mm]N_1[/mm] = {1, 2, 3, 4, 5,
> 6} ist ?
Wie gesagt, [mm] N_1\subseteq [/mm] N ist frei wählbar. Du denkst wahrscheinlich gerade an die Unterscheidung zwischen Wertebereich [mm] N=\{1,2,3,4,5,6\} [/mm] und der "Menge aller Bilder" von f: [mm] f(M)=\{1,3,4\}.
[/mm]
>
> Lieben Gruss, Susanne.
Ich hoffe, Du siehst jetzt etwas klarer.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 So 08.10.2006 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Piet,
VIELEN VIELEN DANK !
Ich denke schon, dass ich jetzt etwas klarer sehe - dank Deiner Hilfe !
Nochmals danke und einen lieben Gruss, Susanne.
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