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| Aufgabe | Es seien
A = {z [mm] \in \IC [/mm] l l z - z1 l = [mm] 2*2^1/2} [/mm] für z1 = 1+i
B = {z [mm] \in \IC [/mm] l l z - z2 l [mm] \le \bruch{2^1/2}{2} [/mm] } für [mm] \bruch{1}{2}(-1-i)
[/mm]
Teilmengen der komplexen Zahlen:
Gilt:
a) A [mm] \cap [/mm] B = A
b) A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset
[/mm]
c) A [mm] \cap [/mm] B = {-1-i} |
Ich habe das ganze nun umgefummelt zu einer Kreisgleichung und einer Kreisungleichung, die ich zur Veranschaulichung aber zu 2 Kreisgleichungen gemacht habe.
Und zwar
(x-1)² + (y+1)² = 8 (A)
und
(x+1/2)² + (y+1/2)² = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (B)
Allerdings trifft dann keine der Aussagen zu. Ich bitte euch, helft mir weiter!
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bei der Menge B soll es heißen für z2 = [mm] \bruch{1}{2}(-1-i)
[/mm]
Außerdem stimmen die dargestellten Ergebnissbedingungen nicht:
bei A soll es heißen: "zwei mal Wurzel zwei"
bei B soll es heißen: "(Wurzel zwei) durch zwei"
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Hallo und guten Morgen,
also ist die Aufgabenstellung wie folgt richtig uebernommen ?
[mm] A=\{z\in\IC\: |\: \: \: |z- (1+i)|=2\cdot \sqrt{2}\: \}
[/mm]
[mm] B=\{z\in\IC\: |\:\:\: |z-(-\frac{1}{2}-\frac{i}{2})|\: \leq \frac{\sqrt{2}}{3}\: \}
[/mm]
Falls ja:
Setzen wir
[mm] A'=\{z\in\IC\: |\:\:\: |z-(1+i)|\leq 2\cdot \sqrt{2}\}
[/mm]
Dann beobachten wir, dass B im Inneren von A' liegt, d.h. in [mm] A'\setminus [/mm] A
(denn [mm] |\cdot [/mm] | ist eine Norm auf [mm] \IC, [/mm] und es gilt fuer [mm] z_1=1+i,z_2=\frac{-(1+i)}{2}
[/mm]
[mm] |z_1-z_2|=\frac{3\cdot\sqrt{2}}{2}
[/mm]
und somit fuer [mm] |x-z_2|leq \frac{\sqrt{2}}{3} [/mm] auch
[mm] |x-z_1|\leq |x-z_2|+|z_1-z_2|\leq \frac{3\cdot \sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}\leq\: 2\cdot \sqrt{2}.
[/mm]
Damit waere dann [mm] A\cap B=\emptyset.
[/mm]
Gruss,
Mathias
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