Mengenabbildung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Di 10.04.2007 | | Autor: | MasterMG |
Hi an alle!
Ich habe hier eine Aufgabe in der Teilmengen einer Menge vereinigt auf eine andere Menge abgebildet werden, wenn ich das richtig verstehe.
Aufgabe:
Sei [mm] f:A\to [/mm] B eine Abbildung. Zeigen Sie: Für beliebige Mengen [mm] A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2} [/mm] mit [mm] A_{1}, A_{2}\subseteq [/mm] A und [mm] B_{1}, B_{2}\subseteq [/mm] B gilt: [mm] f(A_{1} \cup A_{2}) [/mm] = [mm] f(A_{1}) \cup f(A_{2})
[/mm]
Ist die Abbildung der Vereinigung zweier Teilmengen nun tatsächlich gleich der Vereinigung der Abbildungen der gleichen beiden Mengen? Und wie kann man das nun zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Di 10.04.2007 | | Autor: | comix |
Sei $ [mm] f:A\to [/mm] $ B eine Abbildung. Zeigen Sie: Für beliebige Mengen $ [mm] A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2} [/mm] $ mit $ [mm] A_{1}, A_{2}\subseteq [/mm] $ A und $ [mm] B_{1}, B_{2}\subseteq [/mm] $ B gilt: $ [mm] f(A_{1} \cup A_{2}) [/mm] $ = $ [mm] f(A_{1}) \cup f(A_{2}) [/mm] $
Oft zeigt man die Gleichheit von Mengen indem man beide Inklusionen zeigt, und das dann elementweise. Am besten behandelst Du den "leere Menge"-Fall gesondert (damit Du dann ein Element der Menge nehmen kannst):
1. "leere Menge":
2. Zeige $ [mm] f(A_{1} \cup A_{2}) [/mm] $ [mm] \subset [/mm] $ [mm] f(A_{1}) \cup f(A_{2}) [/mm] $
Sei y [mm] \in f(A_{1} \cup A_{2}). [/mm] Dann gibt es ein x mit y=f(x) und [mm] x\in(A_{1} \cup A_{2}). [/mm] Also gibt es ein i [mm] \in [/mm] {1,2} mit x [mm] \in A_{i}. [/mm] Somit liegt f(x) in einem [mm] f(A_{i}) [/mm] und damit in [mm] f(A_{1}) \cup f(A_{2}).
[/mm]
3. jetzt umgekehrt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Di 10.04.2007 | | Autor: | MasterMG |
Ok, vielen dank schon mal dafür.....
Dann wäre
3) z.z.: [mm] f(A_{1})\cup f(A_{2})\subset f(A_{1}\cup A_{2})
[/mm]
Sei [mm] y\in f(A_{1})\cup f(A_{2}). [/mm] Dann gibts ein x mit [mm] y=f(x)\wedge x\in A_{1}\vee x\in A_{2}. [/mm] Also liegt f(x) in [mm] f(A_{1})\vee [/mm] in [mm] f(A_{2}). [/mm] Also ist [mm] y\in f(A_{1}\cup A_{2}).
[/mm]
Oder ist das nicht richtig?
Und beim Fall "leere Menge", ist das nicht quasi offensichtlich und ich muss das nur vollständigkeitshalber aufführen, oder muss ich da noch was berücksichtigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Di 10.04.2007 | | Autor: | comix |
> Ok, vielen dank schon mal dafür.....
> Dann wäre
> 3) z.z.: [mm]f(A_{1})\cup f(A_{2})\subset f(A_{1}\cup A_{2})[/mm]
>
> Sei [mm]y\in f(A_{1})\cup f(A_{2}).[/mm] Dann gibts ein x mit
> [mm]y=f(x)\wedge x\in A_{1}\vee x\in A_{2}.[/mm] Also liegt f(x) in
> [mm]f(A_{1})\vee[/mm] in [mm]f(A_{2}).[/mm] Also ist [mm]y\in f(A_{1}\cup A_{2}).[/mm]
Da musst Du noch einen Schritt einfügen:
Sei [mm]y\in f(A_{1})\cup f(A_{2}).[/mm] Dann gibts ein x mit [mm]y=f(x)[/mm] und es gilt: [mm]x\in A_{1}\vee x\in A_{2}[/mm].
Also liegt x in [mm] A_{1}\cup A_{2}. [/mm] Somit y in [mm] f(A_{1}\cup A_{2}). [/mm] (Vorsicht mit den logischen Symbolen. Deine Verwendung ist hier nicht korrekt, aber hier auch nicht nötig! Konjunktion bindet stärker als Disjunktion)
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> Oder ist das nicht richtig?
> Und beim Fall "leere Menge", ist das nicht quasi
> offensichtlich und ich muss das nur vollständigkeitshalber
> aufführen, oder muss ich da noch was berücksichtigen?
Eigentlich ist es schon offensichtlich, aber es ist guter Stil, wenn man zeigt, dass man daran gedacht hat. Du nimmst ja dann später an, dass die Mengen nichtleer sind.
Ich würde so vorgehen. Sei o.E. [mm] A_{1}=\emptyset. [/mm] Dann gilt: [mm] f(A_{1})=\emptyset, [/mm] damit:
[mm] f(A_{1} \cup A_{2}) [/mm] = [mm] f(A_{2}) [/mm] = [mm] f(A_{1}) \cup f(A_{2})
[/mm]
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