Mengenabbildung2 < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi, Leute....
Ich habe hier eine Aufgabe, in der es um Gleichheit der Umkehrabbildungen geht.
Sei [mm] f:A\to [/mm] B eine Abbildung. Zeigen Sie: Für beliebige Mengen [mm] A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2} [/mm] mit [mm] A_{1}, A_{2}\subseteq [/mm] A und [mm] B_{1}, B_{2}\subseteq [/mm] B gilt: [mm] f^{-1}(B_{1} \cap B_{2}) [/mm] = [mm] f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2})
[/mm]
Geht man bei den Umkehrabbildungen in diesem Fall so wie mit einfachen
Abbildungen vor, oder muss man da was bestimmtes beachten bzw. anderes vorgehen?
Also im folgenden ist mein Versuch diese Aufgabe zu lösen, weiß nun aber nicht, ob es auf diese Weise geht bzw. ob es nun so richtig ist. Kann mir da jemand sagen ob das ok ist, und wenn nicht, was zu ändern ist?
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Beweis:
1. Sei eine der Teilmengen eine leere Menge. O.B.d.A. [mm] B_{1}=\emptyset. [/mm] Dann gilt: [mm] f^{-1}(B_{1})=\emptyset, [/mm] damit: [mm] f^{-1}(B_{1} \cap B_{2}) [/mm] = [mm] f^{-1}(B_{2})= f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}).
[/mm]
[mm] 2."\subset" [/mm] z.z.: [mm] f^{-1}(B_{1} \cap B_{2})\subset f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}).
[/mm]
Sei [mm] y\in f^{-1}(B_{1} \cap B_{2}). [/mm] Dann gibt es ein x mit [mm] y=f^{-1}(x) [/mm] und [mm] x\in (B_{1} \cap B_{2}). [/mm] Also ist [mm] x\in B_{1} [/mm] und [mm] x\in B_{2}. [/mm] Somit liegt [mm] f^{-1}(x) [/mm] in [mm] f^{-1}(B_{1}) [/mm] und [mm] f^{-1}(x) [/mm] liegt in [mm] f^{-1}(B_{2}). [/mm] Damit liegt [mm] y=f^{-1}(x) [/mm] in [mm] f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}).
[/mm]
[mm] 3."\supset" [/mm] z.z.: [mm] f^{-1}(B_{1} \cap B_{2})\supset f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}).
[/mm]
Sei [mm] y\in f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}). [/mm] Dann gibt es ein x mit [mm] y=f^{-1}(x) [/mm] und es gilt: [mm] x\in B_{1} [/mm] und [mm] x\in B_{2}. [/mm] Also liegt x in [mm] (B_{1}\cap B_{2}). [/mm] Somit liegt [mm] y=f^{-1}(x) [/mm] in [mm] f^{-1}(B_{1}\cap B_{2}).
[/mm]
Somit gilt die Behauptung.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Mi 11.04.2007 | | Autor: | comix |
> Hi, Leute....
> Ich habe hier eine Aufgabe, in der es um Gleichheit der
> Umkehrabbildungen geht.
>
> Sei [mm]f:A\to[/mm] B eine Abbildung. Zeigen Sie: Für beliebige
> Mengen [mm]A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}[/mm] mit [mm]A_{1}, A_{2}\subseteq[/mm]
> A und [mm]B_{1}, B_{2}\subseteq[/mm] B gilt: [mm]f^{-1}(B_{1} \cap B_{2})[/mm]
> = [mm]f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2})[/mm]
>
> Geht man bei den Umkehrabbildungen in diesem Fall so wie
> mit einfachen
> Abbildungen vor, oder muss man da was bestimmtes beachten
> bzw. anderes vorgehen?
> Also im folgenden ist mein Versuch diese Aufgabe zu lösen,
> weiß nun aber nicht, ob es auf diese Weise geht bzw. ob es
> nun so richtig ist. Kann mir da jemand sagen ob das ok ist,
> und wenn nicht, was zu ändern ist?
> Vielen Dank schon mal im Voraus.
>
> Beweis:
>
> 1. Sei eine der Teilmengen eine leere Menge. O.B.d.A.
> [mm]B_{1}=\emptyset.[/mm] Dann gilt: [mm]f^{-1}(B_{1})=\emptyset,[/mm] damit:
> [mm]f^{-1}(B_{1} \cap B_{2})[/mm] = [mm]f^{-1}(B_{2})= f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}).[/mm]
>
> [mm]2."\subset"[/mm] z.z.: [mm]f^{-1}(B_{1} \cap B_{2})\subset f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}).[/mm]
>
Hier sollte man hinzufügen: Seien nun [mm] B_{1} \not= \emptyset [/mm] und [mm] B_{2} \not= \emptyset.
[/mm]
Was noch fehlt ist der Fall dass [mm] B_{1} \cap B_{2} [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm] Du nimmst ja dann ein Element aus dem Urbild, da sollte die Menge nicht leer sein.
> Sei [mm]y\in f^{-1}(B_{1} \cap B_{2}).[/mm] Dann gibt es ein x mit
> [mm]y=f^{-1}(x)[/mm] und [mm]x\in (B_{1} \cap B_{2}).[/mm] Also ist [mm]x\in B_{1}[/mm]
> und [mm]x\in B_{2}.[/mm] Somit liegt [mm]f^{-1}(x)[/mm] in [mm]f^{-1}(B_{1})[/mm] und
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] liegt in [mm]f^{-1}(B_{2}).[/mm] Damit liegt [mm]y=f^{-1}(x)[/mm]
> in [mm]f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}).[/mm]
>
Etwas unorthodox nimmst Du ein x aus dem Ziel und y aus der Quelle, umgekehrt ist es gewohnter.
Vorsicht: [mm] f^{-1}(x) [/mm] ist eine MENGE. Somit sind die Formulierungen [mm] y=f^{-1}(x) [/mm] nicht korrekt.
Ich persönlich würde es umformulieren:
Sei $ [mm] x\in f^{-1}(B_{1} \cap B_{2}). [/mm] $ Dann gilt $ f(x) [mm] \in (B_{1} \cap B_{2}). [/mm] $ Also ist $ f(x) [mm] \in B_{1} [/mm] $ und $ f(x) [mm] \in B_{2}. [/mm] $ Somit gilt $ x [mm] \in f^{-1}(B_{1}) [/mm] $ und $x [mm] \in f^{-1}(B_{2}). [/mm] $ Damit $ x [mm] \in f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}). [/mm] $
> [mm]3."\supset"[/mm] z.z.: [mm]f^{-1}(B_{1} \cap B_{2})\supset f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}).[/mm]
>
> Sei [mm]y\in f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}).[/mm] Dann gibt es ein
> x mit [mm]y=f^{-1}(x)[/mm] und es gilt: [mm]x\in B_{1}[/mm] und [mm]x\in B_{2}.[/mm]
> Also liegt x in [mm](B_{1}\cap B_{2}).[/mm] Somit liegt [mm]y=f^{-1}(x)[/mm]
> in [mm]f^{-1}(B_{1}\cap B_{2}).[/mm]
> Somit gilt die Behauptung.
>
Bei 3. solltest Du [mm] "y=f^{-1}(x)" [/mm] auch umformulieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 15.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
