Mengenbeweise < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | $a)$ Es seinen $M,N$ Mengen. Beweisen Sie:
$i)$ Falls $M [mm] \subset [/mm] N$ ,so ist auch $Pot(M) [mm] \subset [/mm] Pot(N) $
$ii) Pot(M [mm] \cap [/mm] N)= Pot(M) [mm] \cap [/mm] Pot(N)$
$b)$ Bestimmen sie die folgenden Mengen .
$i) [mm] Pot(\{1,\{2,3\},4\}),$
[/mm]
$ii) [mm] Pot(\{1,3,5,7\}) \cap Pot(\{5,6,7,8\}) [/mm] $ |
$a) $
Bew. :
$i)$ Falls $M [mm] \subset [/mm] N$ ,so ist auch $Pot(M) [mm] \subset [/mm] Pot(N) $
angenommen $M [mm] \subset [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \Rightarrow x\in [/mm] Pot(M) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(N) [mm] \Rightarrow [/mm] Pot(M) [mm] \subset [/mm] Pot(N)$
$ii)$ $Pot(M [mm] \cap [/mm] N)= Pot(M) [mm] \cap [/mm] Pot(N)$
[mm] $"\subset"$ [/mm]
$x [mm] \in [/mm] Pot(M [mm] \cap [/mm] N) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(M [mm] \wedge [/mm] N) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(M) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(N) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(M) [mm] \cap [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(N)$
[mm] $"\supset"$ [/mm]
$x [mm] \in [/mm] Pot(M) [mm] \cap [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(N) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(M) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(N) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(M [mm] \wedge [/mm] N) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(M [mm] \cap [/mm] N)$
$b)$
$i) [mm] Pot(\{1,\{2,3\},4\})=\{\emptyset,\{1\},\{2,3\},\{4\},\{1,\{2,3\}\},\{1,4\},\{\{2,3\},4\},\{1,\{2,3\},4\}\},$
[/mm]
$ii) [mm] Pot(\{1,3,5,7\}) \cap Pot(\{5,6,7,8\}) \overbrace{=}^{4a) ii)} Pot(\{1,3,5,7\} \cap \{5,6,7,8\}) =Pot(\{5,7\}) [/mm] = [mm] \{ \emptyset,\{5\},\{7\},\{5,7\}\} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Fr 17.04.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo forestdumb!
Zur ersten Teilaufgabe lies die Antwort von Gono.
Tipp:
[mm] $A\subseteq B\Longleftrightarrow A\in\mathcal{P}(B)$.
[/mm]
Übrigens: Bei i) gilt auch die Rückrichtung.
> [mm]b)[/mm]
>
> [mm]i) Pot(\{1,\{2,3\},4\})=\{\emptyset,\{1\},\{2,3\},\{4\},\{1,\{2,3\}\},\{1,4\},\{\{2,3\},4\},\{1,\{2,3\},4\}\},[/mm]
>
>
> [mm]ii) Pot(\{1,3,5,7\}) \cap Pot(\{5,6,7,8\}) \overbrace{=}^{4a) ii)} Pot(\{1,3,5,7\} \cap \{5,6,7,8\}) =Pot(\{5,7\}) = \{ \emptyset,\{5\},\{7\},\{5,7\}\} [/mm]
Sieht gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:02 Sa 18.04.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
also der Aussage:
> Sieht gut aus!
kann ich mich aufgrund fundamentaler Fehler in der Frage nicht anschließen. Und diese sollten dir auch auffallen!
Gruß,
Gono
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Hiho,
> angenommen [mm]M \subset N \Rightarrow x \in M \Rightarrow x \in N \Rightarrow x\in Pot(M) \Rightarrow x \in Pot(N) \Rightarrow Pot(M) \subset Pot(N)[/mm]
Hier machst du gleich mehrere Fehler, die sich später auch durchziehen.
1.) Weißt du überhaupt, wie Potenzmengen aussehen? Mach dir das mal klar. Was ist denn die Potenzmenge von M?
Dann würde dir klar sein, dass Aussagen wie [mm] $x\in [/mm] M [mm] \Rightarrow x\in [/mm] Pot(M)$ gar keinen Sinn machen, denn kein einziges Element aus M liegt auch in Pot(M).
Denn: Selbst mit dieser Korrektur wäre der Beweis nicht vollständig, weil du so nur einen Bruchteil der Mengen aus Pot(M) bekämst und bei weitem nicht alle.
2.) Dann folgerst du: $ [mm] x\in [/mm] Pot(M) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(N)$
Wie folgerst du das ohne dem, was du eigentlich zeigen willst?
Ergo: Leider hast du noch gar nichts gezeigt. Also nochmal von vorn!
Gruß,
Gono
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also
falls $M [mm] \subset [/mm] N$, so ist auch $Pot(M) [mm] \subset [/mm] Pot(N)$
definiton
$Pot(N):= [mm] \{X|X\subset N\} [/mm] ,Pot(M):= [mm] \{A|A\subset M\}$
[/mm]
Nun wenn $Pot(M) [mm] \subset [/mm] Pot(N)$, also $Pot(M):= [mm] \{X|X\subset M\} \subset [/mm] Pot(N):= [mm] \{A|A\subset N\}$
[/mm]
Ansatz:
$x [mm] \in [/mm] Pot(M):= [mm] \{X|X\subset M\} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X ,da X [mm] \subset [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M$
Nun ist die $Pot(M) [mm] \subset [/mm] Pot(N)$ , dass heißt [mm] $\{X|X\subset M\} \subset \{A|A\subset N\}$ [/mm] . liegt $ x$ jetzt in $M$ so ist $ x [mm] \in [/mm] A$ und da $A [mm] \subset [/mm] N$ liegt $x [mm] \in [/mm] N$ daraus folgere ich $M [mm] \subset [/mm] N $.
ist das so gut?
kannst du mir vielleicht noch nen feedback zur 4a)ii) geben und zur 4b)?
dank dir im voraus:)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Sa 18.04.2015 | | Autor: | DieAcht |
Erstmal: Tut mir leid.
> Ansatz:
>
> [mm]x \in Pot(M):= \{X|X\subset M\} \Rightarrow x \in X ,da X \subset M \Rightarrow x \in M[/mm]
Nein.
[mm] $\mathcal{P}(M)\$ [/mm] besteht aus allen Teilmengen [mm] $X\$ [/mm] aus [mm] $M\$, [/mm] dabei ist
[mm] $X\$ [/mm] ein Hilfsmittel um [mm] $\mathcal{P}(M)\$ [/mm] darzustellen.
Ansatz:
[mm] $M\subseteq N\Longleftrightarrow M\in\mathcal{P}(N)$.
[/mm]
(Kannst du das beweisen?)
Zu zeigen:
[mm] $N\subseteq [/mm] M [mm] \Longrightarrow \mathcal{P}(N)\subseteq\mathcal{P}(M)$.
[/mm]
Beweis:
Sei [mm] X\in\mathcal{P}(N), [/mm] dann ist [mm] $X\subseteq [/mm] N$. Wegen [mm] $N\subseteq [/mm] M$ ist [mm] $X\subseteq [/mm] M$ (Wieso?)
und damit [mm] $X\in\mathcal{P}(M)$. $X\$ [/mm] war beliebig gewählt, so dass die Be-
hauptung folgt.
(Übrigens: Die Rückrichtung, also [mm] $\Longleftarrow$, [/mm] gilt hier auch!)
> kannst du mir vielleicht noch nen feedback zur 4a)ii) geben und zur 4b)?
Zu zeigen:
[mm] $\mathcal{P}(M \cap [/mm] N)= [mm] \mathcal{P}(M) \cap \mathcal{P}(N)$.
[/mm]
Benutze wieder obigen Ansatz. Dabei kannst du auch sofort beide
Richtungen zeigen, in dem du mit Äquivalenzpfeilen arbeitest.
Es ist
[mm] $X\in\mathcal{P}(M) \cap \mathcal{P}(N)$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M)\wedge X\in\mathcal{P}(N)$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow\ldots$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow\ldots$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M\cap [/mm] N)$.
(Vervollständige die [mm] $\ldots$.)
[/mm]
Die letzen beiden Teilaufgaben waren richtig.
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Zu zeigen:
$ [mm] N\subseteq [/mm] M [mm] \Longrightarrow \mathcal{P}(N)\subseteq\mathcal{P}(M) [/mm] $.
Beweis:
Sei $ [mm] X\in\mathcal{P}(N), [/mm] $ dann ist $ [mm] X\subseteq [/mm] N $. Wegen $ [mm] N\subseteq [/mm] M $ ist $ [mm] X\subseteq [/mm] M $ (Wieso? ( ja weil das ne art transitivität der Mengen ist $ X [mm] \subset [/mm] N [mm] \wedge [/mm] N [mm] \subset [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] X [mm] \subset [/mm] M$ )
und damit $ [mm] X\in\mathcal{P}(M) [/mm] $. $ X\ $ war beliebig gewählt, so dass die Be-
hauptung folgt.
zur b)
$ [mm] X\in\mathcal{P}(M) \cap \mathcal{P}(N) [/mm] $
$ [mm] \Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M)\wedge X\in\mathcal{P}(N) [/mm] $
$ [mm] \Longleftrightarrow X\in\mathcal(M)\wedge X\in\mathcal(N) [/mm] $
$ [mm] \Longleftrightarrow X\in\mathcal(M)\cap \mathcal(N) [/mm] $
$ [mm] \Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M\cap [/mm] N) $.
ist das gut so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Sa 18.04.2015 | | Autor: | DieAcht |
> (Wieso? ( ja weil das ne art transitivität der Mengen ist)
Es ist die Transitivität (der Inklusion).
Vorab:
\mathcal{P}(X) wird zu [mm] \mathcal{P}(X).
[/mm]
(Verwende geschweifte Klammern. Unten kann ich es aber trotzdem
erkennen.)
> [mm]X\in\mathcal{P}(M) \cap \mathcal{P}(N)[/mm]
>
> [mm]\Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M)\wedge X\in\mathcal{P}(N)[/mm]
>
> [mm]\Longleftrightarrow X\in\mathcal(M)\wedge X\in\mathcal(N) [/mm]
Diese Zeile ist komplett zu streichen, da sie einfach nur die
Zeile vorher wiedergibt.
> [mm]\Longleftrightarrow X\in\mathcal(M)\cap \mathcal(N)[/mm]
Jetzt landest du wieder auf die erste Zeile.
> [mm]\Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M\cap N) [/mm].
Du hast nichts gezeigt!
Ich habe dir doch Tipps gegeben. Vielleicht nochmal genauer:
Es ist
[mm] $X\in\mathcal{P}(M) \cap \mathcal{P}(N)$ [/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M)\wedge X\in\mathcal{P}(N)$ [/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow\ldots$ [/mm] (Benutze hier den "Ansatz")
[mm] $\Longleftrightarrow\ldots\subseteq\ldots\cap\ldots$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M\cap [/mm] N)$ (Benutze hier den "Ansatz". (Ist schon passiert.)).
(Vervollständige die [mm] $\ldots$.) [/mm]
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also nochmal
$ [mm] X\in\mathcal{P}(M) \cap \mathcal{P}(N) [/mm] $
$ [mm] \Longleftrightarrow [/mm] X [mm] \in\mathcal{P}(M)\wedge X\in\mathcal{P}(N) [/mm] $
$ [mm] \Longleftrightarrow [/mm] X [mm] \subset [/mm] M [mm] \wedge X\subset [/mm] N $
$ [mm] \Longleftrightarrow [/mm] X [mm] \subset [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N) $
$ [mm] \Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M\cap [/mm] N) $.
ich hab jetzt erst Verstanden worums geht eigentlich ... :/ ich donkey , sorry @DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Sa 18.04.2015 | | Autor: | DieAcht |
Passt. 
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
