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Hallo,
ich habe hier garde ein verständnisproblem.
ich habe eine beschränkte Menge A mit [mm] A=\{x\in \IN | x\le y\}
[/mm]
Und dazu die Menge [mm] B=\{x\in \IN |\exists a\in A: x\le a\}
[/mm]
Kann mir jemand vielleicht sagen, wie diese Mengen in Beziehung stehen? ich verstehe das gerade nicht so richtig.
Am liebsten noch mit einem Beispiel.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 So 26.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich habe hier garde ein verständnisproblem.
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> ich habe eine beschränkte Menge A mit [mm]A=\{x\in \IN | x\le y\}[/mm]
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> Und dazu die Menge [mm]B=\{x\in \IN |\exists a\in A: x\le a\}[/mm]
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> Kann mir jemand vielleicht sagen, wie diese Mengen in
> Beziehung stehen? ich verstehe das gerade nicht so richtig.
das ist ganz einfach:
Es gilt $B [mm] \subseteq A\,.$ [/mm] Denn:
Sei $x [mm] \in B\,.$ [/mm] Dann ist $x [mm] \in \IN$ [/mm] und es existiert ein $a [mm] \in [/mm] A$ mit $x [mm] \le a\,.$ [/mm] Wegen $a [mm] \in [/mm] A$ gilt aber insbesondere $a [mm] \le y\,,$ [/mm] so dass
$$x [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] y$$
und damit auch $x [mm] \le [/mm] y$ folgt. Also folgt $x [mm] \in A\,.$ [/mm] Da $x [mm] \in [/mm] B$ beliebig war, folgt $B [mm] \subseteq A\,.$
[/mm]
Beispiel:
Sei [mm] $y=11,25\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $A=\{n \in \IN: n \le 11,25\}=\{1,2,3,\ldots,11\}$ [/mm] (sofern bei Euch $0 [mm] \notin \IN$).
[/mm]
Jede mögliche Menge " [mm] $B\,$ [/mm] " (ich inidziere die nun aus gewissen Gründen, wie Du gleich siehst) aus obiger Form ist dann
[mm] $$B_1=\{n \in \IN: n \le 1\}=\{1\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$B_2=\{n \in \IN: n \le 2\}=\{1,2\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$B_3=\{n \in \IN: n \le 3\}=\{1,2,3\}\,,$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
[mm] $$B_{11}=\{n \in \IN: n \le 11\}=\{1,2,3,\ldots,11\}\,.$$
[/mm]
Du siehst: Jedes [mm] $B_i$ ($i=1,\ldots,11$) [/mm] erfüllt [mm] $B_i \subseteq A\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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HI Marcel,
danke für die nette Erklärung.
Siehste, ich hatte das nämlich falsch verstanden. Ich dachte, dass das Max. der Menge A auch immer in der Menge C enthalten sein muss, also z.B. bei deinen Mengen
[mm] B_1=\{1, 11} [/mm] oder [mm] B_3=\{1,2,3,11\}
[/mm]
Das ist aber falsch so, richtig?? denn ab der Grenze, die ich mir setze, mit Grenze meine ich den Wert a, müssen alle Elemente aus [mm] \IN [/mm] die [mm] \le [/mm] a sind, in B sein, richtig ne??
Und mal eine andere Frage, wie könnte ich beweisen, dass es ein [mm] n\in [/mm] B, mit S(n) [mm] \not\in [/mm] B? S ist hierbei die Nachfolgerfunktion im Peanoaxiom.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Mi 29.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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