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| Aufgabe | Gegebene Mengenfamilie : [mm] (A_i [/mm] | i [mm] \in \IN^{+})
[/mm]
Zur Menge [mm] A_i [/mm] gehören alle Punkte in der abgeschlossenen Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt(0,i) und dem Radius i.
Bestimmen Sie die folgenden Vereinigungen und Durschnitte :
a) [mm] \bigcap_{}i \in \IN^{+} [/mm] + [mm] A_i [/mm] |
Hallo, ich habe lange im Internet gesucht , was eine Mengenfamilie sein soll , allerdings bin ich auf keine für mich verständliche Definition o.Ä. gekommen.
Zweitens weiß ich nicht so ganz , was ich bei dieser Aufgabe machen soll. Also ich ahbe einen Mittelpunkt und einen Radius , die irgendwie zu den positiven Natürlichen Zahlen gehören. Aber wie ich jetzt damit einen Durschnitt bzw. Vereinigung berechnen soll , weiß ich leider nicht.
Wäre nett, wenn mir hier ein Tipp oder ein Ansatz gegeben wird.
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo pc_doctor,
erstmal ein paar Definitionserklärungen:
Eine Mengenfamilie ist letztlich eine "Menge von Mengen". Die Mengenfamilie
[mm] $(A_i [/mm] | i [mm] \in \IN^+)$ [/mm] ist also letztlich nichts anderes als die (unendliche) Anzahl an Mengen [mm] $A_1, A_2, A_3,\ldots$
[/mm]
Nun werden die Mengen ja wie folgt beschrieben:
[mm] "$A_i$ [/mm] sind alle Zahlen einer Kreisscheibe um (0,i) mit Radius i."
[mm] A_1 [/mm] ist also eine Kreisscheibe um (0,1) mit Radius 1.
[mm] A_2 [/mm] ist also eine Kreisscheibe um (0,2) mit Radius 2.
etc
eine Skizze ist da sicherlich immer sehr hilfreich.
Für den unwahrscheinlichen Fall, dass du eine mehr mathematische Beschreibung benötigst, lassen sich die [mm] A_i [/mm] auch so schreiben:
[mm] $A_i [/mm] = [mm] \left\{(x,y) \in \IR^2 | x^2 + (y-i)^2 \le i^2\right\}$
[/mm]
Was der Schnitt ist, weißt du?
Gruß,
Gono.
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Danke für die Antwort.
Ja , was der Schnitt ist , weiß ich. Enthält alle Elemente , die in beiden Mengen A B vorhanden sind.
Das mit den Einsetzungen für r und so habe ich auh verstanden.
Aber mir fehlt halt der Ansatz. Soll ich das allgemein berechnen ? Wenn ja , wie ?
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Hiho,
> Ja , was der Schnitt ist , weiß ich. Enthält alle Elemente , die in beiden Mengen A B vorhanden sind.
Oder in diesem Fall: In allen!
> Das mit den Einsetzungen für r und so habe ich auh verstanden.
Für welches r?
> Aber mir fehlt halt der Ansatz. Soll ich das allgemein berechnen ? Wenn ja , wie ?
Allgemein heißt hier: Für die gegebenen Mengen [mm] $A_i$.
[/mm]
Hast du dir denn mal eine Skizze gemacht, wie die Mengen aussehen?
Wenn nicht: Zirkel in die Hand und auf gehts!
Gruß,
Gono.
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Muss ich damit ich die Skizze machen kann, für i immer Werte einsetzen ?
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Hiho,
> Muss ich damit ich die Skizze machen kann, für i immer Werte einsetzen ?
Ja natürlich, welche Werte durchläuft i denn?
Nimm halt die ersten 3 davon um eine Idee zu bekommen.
Gruß,
Gono.
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Also habe das jetzt gezeichnet von [mm] A_1 [/mm] bis [mm] A_4.
[/mm]
Und mir ist halt aufgefallen, dass A1 in A2 , A2 in A3 und A3 in A4 steckt.
Sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht , oder wieso kann ich jetzt damit nix anfangen. Die "schneiden" sich ja sozusagen nicht , also gibt es auch keine Schnittmenge , habe ich dann als Durschnitt bei [mm] A_i [/mm] eine leere Menge?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Di 05.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Also habe das jetzt gezeichnet von [mm]A_1[/mm] bis [mm]A_4.[/mm]
> Und mir ist halt aufgefallen, dass A1 in A2 , A2 in A3 und
... damit steckt A1 sogar in A3
> A3 in A4 steckt.
...damit steckt A1 auch in A4
> Sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht , oder wieso
> kann ich jetzt damit nix anfangen. Die "schneiden" sich ja
> sozusagen nicht , also gibt es auch keine Schnittmenge ,
Schnittmenge heißt Menge der gemeinsamen Punkte. Es geht also um die Menge aller Punkte, die auf dem Rand oder IM INNEREN ALLER Kreise liegen.
> habe ich dann als Durschnitt bei [mm]A_i[/mm] eine leere Menge?
Sicher nicht.
Gruß Abakus
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> Schnittmenge heißt Menge der gemeinsamen Punkte. Es geht
> also um die Menge aller Punkte, die auf dem Rand oder IM
> INNEREN ALLER Kreise liegen.
Also bei mir gibt es einen "Startpunkt" sozusagen und das ist (0,0) , und alle diese Kreise bzw. Mengen haben diesen Punkt gemeinsam , somit ist der Durschnitt {(0,0)} ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Di 05.11.2013 | | Autor: | abakus |
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> > Schnittmenge heißt Menge der gemeinsamen Punkte. Es geht
> > also um die Menge aller Punkte, die auf dem Rand oder IM
> > INNEREN ALLER Kreise liegen.
>
>
> Also bei mir gibt es einen "Startpunkt" sozusagen und das
> ist (0,0) , und alle diese Kreise bzw. Mengen haben diesen
> Punkt gemeinsam , somit ist der Durschnitt {(0,0)} ?
Zu den Kreisen zählt hier jeweils die gesamte Kreisfläche. Und da haben alle Kreise mehr als nur diesen einen Punkt gemeinsam.
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Also tut mir Leid , aber ich bklicke grade gar nicht durch.
Hier ist meine Zeichnung:
http://s7.directupload.net/file/d/3432/hhtfipma_jpg.htm
Den gemeinsamen Punkt habe ich markiert , warum aber jetzt die Fläche von jedem Kreis ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Di 05.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Also tut mir Leid , aber ich bklicke grade gar nicht
> durch.
>
> Hier ist meine Zeichnung:
>
> http://s7.directupload.net/file/d/3432/hhtfipma_jpg.htm
>
> Den gemeinsamen Punkt habe ich markiert , warum aber jetzt
> die Fläche von jedem Kreis ?
Wie oft denn noch?
Wenn in dieser Aufgabe von "KREIS" die Rede ist, dann ist NICHT NUR die jeweilige Kreislinie gemeint! (Diese hätten tatsächlich nur (0;0) gemeinsam.
Es geht um die komplette Kreisfläche!!!
Welche Fläche ist in allen deinen skizzierten Kreisen enthalten?
Gruß Abakus
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Tut mir leid für das Wirrwar , aber ich mache solche Aufgaben zum ersten Mal , da muss ich das Differenzieren erst einmal erkennen/lernen.
Also es ist eigentlich immer die Kreisfläche von [mm] A_1 [/mm] drin , aber die wird halt von Kreis zu Kreis größer. In A2 steckt z.B die Kreisfläche von [mm] A_1 [/mm] drin , aber halt doppelt. Also
[mm] A_2 [/mm] = [mm] A_1 [/mm] * 2 ( bezogen auf die Fläche )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Di 05.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Tut mir leid für das Wirrwar , aber ich mache solche
> Aufgaben zum ersten Mal , da muss ich das Differenzieren
> erst einmal erkennen/lernen.
Was hat das mit Differenzieren zu tun?
>
> Also es ist eigentlich immer die Kreisfläche von [mm]A_1[/mm] drin
> , aber die wird halt von Kreis zu Kreis größer. In A2
> steckt z.B die Kreisfläche von [mm]A_1[/mm] drin ,
Das war eine schwere Geburt. JA. Alle Punkte des Kreises A1 stecken in den nachfolgenden Kreisen drin. Damit hast du die Durchschnittsmenge.
> aber halt
> doppelt. Also
> [mm]A_2[/mm] = [mm]A_1[/mm] * 2 ( bezogen auf die Fläche )
Grober Unfug. Erstens ist ein Vergleich von Flächeninhalten hier absolut unnötig, und wenn schon: Ein doppelter Radius bedeutet nicht den doppelten, sondern den vierfachen Flächeninhalt.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Di 05.11.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Vielen lieben Dank für die Hilfe. Und sorry noch einmal , dass es so lange gedauert hat. Trotzdem danke , schönen Abend noch.
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