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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Sa 17.07.2010 | | Autor: | Avram |
| Aufgabe | | Zeige: A° [mm] \cap [/mm] B° = (A [mm] \cap [/mm] B)° |
Hallo, ist die folgende Argumentation richtig?
Sei U eine offene Umgebung:
1. Richtung [mm] "\subseteq"
[/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] A° [mm] \cap [/mm] B° [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \subset [/mm] A und x [mm] \in [/mm] U [mm] \subset [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \subset [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)°
2. Richtigung [mm] "\supseteq"
[/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)° [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \subset [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \subset [/mm] A und x [mm] \in [/mm] U [mm] \subset [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A° und x [mm] \in [/mm] B° [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A° [mm] \cap [/mm] B°
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Hallo,
> Zeige: A° [mm]\cap[/mm] B° = (A [mm]\cap[/mm] B)°
> Hallo, ist die folgende Argumentation richtig?
>
> Sei U eine offene Umgebung:
Von welchem Punkt denn?
So kannst du das nicht schreiben.
Die Grundideen deiner Beweise sind richtig, aber die Notation ist falsch!
Beim 2. Beweisteil musst du nur die Notation ändern, beim ersten Beweisteil musst du noch genauer argumentieren.
> 1. Richtung [mm]"\subseteq"[/mm]
> Sei x [mm]\in[/mm] A° [mm]\cap[/mm] B° [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] A und
> x [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] A [mm]\cap[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B)°
[mm] $x\in A^{o}\cap B^{o}$ \Rightarrow x\in A^{o} [/mm] und [mm] x\in B^{o} \Rightarrow [/mm] Es gibt eine Umgebung $U(x) [mm] \subset A^{o}$ [/mm] von x und es gibt eine Umgebung [mm] $V(x)\subset B^{o}$ [/mm] von x.
Wie geht's weiter?
> 2. Richtigung [mm]"\supseteq"[/mm]
> Sei x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B)° [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] A [mm]\cap[/mm]
> B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] A und x [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A° und x [mm]\in[/mm] B° [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A°
> [mm]\cap[/mm] B°
Schreibe hier statt [mm] $x\in [/mm] U$, dass $U(x)$ eine Umgebung von x ist!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Sa 17.07.2010 | | Autor: | Avram |
> Hallo,
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> > Zeige: A° [mm]\cap[/mm] B° = (A [mm]\cap[/mm] B)°
> > Hallo, ist die folgende Argumentation richtig?
> >
> > Sei U eine offene Umgebung:
>
> Von welchem Punkt denn?
> So kannst du das nicht schreiben.
>
> Die Grundideen deiner Beweise sind richtig, aber die
> Notation ist falsch!
> Beim 2. Beweisteil musst du nur die Notation ändern, beim
> ersten Beweisteil musst du noch genauer argumentieren.
>
> > 1. Richtung [mm]"\subseteq"[/mm]
> > Sei x [mm]\in[/mm] A° [mm]\cap[/mm] B° [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] A
> und
> > x [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] A [mm]\cap[/mm] B
> > [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B)°
>
> [mm]x\in A^{o}\cap B^{o}[/mm] [mm]\Rightarrow x\in A^{o}[/mm] und [mm]x\in B^{o} \Rightarrow[/mm]
> Es gibt eine Umgebung [mm]U(x) \subset A^{o}[/mm] von x und es gibt
> eine Umgebung [mm]V(x)\subset B^{o}[/mm] von x.
>
> Wie geht's weiter?
[mm] \Rightarrow [/mm] Dann ist U(x) [mm] \cap [/mm] V(x) [mm] \subset A^{o} \cap B^{o} \subset [/mm] A [mm] \cap [/mm] B eine Umgebung von x
und damit x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap B)^{o}
[/mm]
>
> > 2. Richtigung [mm]"\supseteq"[/mm]
> > Sei x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B)° [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] A
> [mm]\cap[/mm]
> > B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] A und x [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] B
> > [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A° und x [mm]\in[/mm] B° [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A°
> > [mm]\cap[/mm] B°
>
> Schreibe hier statt [mm]x\in U[/mm], dass [mm]U(x)[/mm] eine Umgebung von x
> ist!
Okay!
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo,
jetzt ist alles okay!
Grüße,
Stefan
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