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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 So 14.10.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Sei [mm] $f\colon A\to [/mm] B$ mit [mm] $A_1,A_2\subseteq [/mm] A$.
Zeige
[mm] $f(A_1)\setminus f(A_2)\subseteq f(A_1\setminus A_2)$.
[/mm]
Zeige außerdem, dass Gleichheit gilt, wenn f injektiv ist. |
Ja, also erstmal moin!
Die erste Implikation ist ja nicht so schwer eigentlich:
Sei [mm] $x\in f(A_1)\setminus f(A_2)$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\exists y\in A_1: f(y)=x\wedge\nexists y'\in A_2: [/mm] f(y')=x$
[mm] $\Rightarrow y\notin A_2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x\in f(A_1\setminus A_2)$
[/mm]
Wie zeigt man jetzt, daß auch die andere Inklusion gilt, wenn f injektiv ist?
Sei [mm] $x\in f(A_1\setminus A_2)$.
[/mm]
D.h. [mm] $\exists y\in A_1\setminus A_2: [/mm] x=f(y)$. Das heißt dieses y ist in [mm] A_1 [/mm] und nicht in [mm] A_2.
[/mm]
Und jetzt?
Ich würde sagen:
Wegen der Injektivität gibts sogar genau ein solches Element y in [mm] A_1 [/mm] und es kann kein [mm] $y'\in A_2$ [/mm] geben mit $f(y')=x$.
Deswegen [mm] $x\in f(A_1)\setminus f(A_2)$
[/mm]
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 So 14.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f\colon A\to B[/mm] mit [mm]A_1,A_2\subseteq A[/mm].
>
> Zeige
>
> [mm]f(A_1)\setminus f(A_2)\subseteq f(A_1\setminus A_2)[/mm].
>
>
> Zeige außerdem, dass Gleichheit gilt, wenn f injektiv
> ist.
>
>
> Ja, also erstmal moin!
>
> Die erste Implikation ist ja nicht so schwer eigentlich:
>
> Sei [mm]x\in f(A_1)\setminus f(A_2)[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow\exists y\in A_1: f(y)=x\wedge\nexists y'\in A_2: f(y')=x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y\notin A_2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x\in f(A_1\setminus A_2)[/mm]
>
>
>
> Wie zeigt man jetzt, daß auch die andere Inklusion gilt,
> wenn f injektiv ist?
>
>
> Sei [mm]x\in f(A_1\setminus A_2)[/mm].
> D.h. [mm]\exists y\in A_1\setminus A_2: x=f(y)[/mm].
> Das heißt dieses y ist in [mm]A_1[/mm] und nicht in [mm]A_2.[/mm]
>
> Und jetzt?
Jetzt nimm mal an, es wäre x [mm] \in f(A_2)
[/mm]
FRED
>
> Ich würde sagen:
>
> Wegen der Injektivität gibts sogar genau ein solches
> Element y in [mm]A_1[/mm] und es kann kein [mm]y'\in A_2[/mm] geben mit
> [mm]f(y')=x[/mm].
>
> Deswegen [mm]x\in f(A_1)\setminus f(A_2)[/mm]
>
>
> Stimmt das so?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 14.10.2012 | | Autor: | mikexx |
>
> Jetzt nimm mal an, es wäre x [mm]\in f(A_2)[/mm]
>
> FRED
Dann existierte ein [mm] $y'\in A_2: [/mm] f(y')=x$.
Wegen der Injektivität von f folgt dann $y'=y$.
Also ein Widerspruch, denn [mm] $y\in A_1\wedge y\notin A_2$ [/mm] und somit
[mm] $x\in f(A_1)\setminus f(A_2)$
[/mm]
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 So 14.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
es wäre sinnvoll, wesentliches mitzukopieren oder nochmal zu erwähnen:
Es war ja $f: A [mm] \to [/mm] B$ mit [mm] $A_1,A_2 \subseteq A\,.$
[/mm]
Zuerst wurde behauptet und bewiesen:
[mm] $$(\*)\;\;\;f(A_1)\setminus f(A_2) \subseteq f(A_1 \setminus A_2)\,.$$
[/mm]
Jetzt kommt folgendes: Gleichheit gilt jedenfalls dann, wenn [mm] $f\,$ [/mm] auch
injektiv ist. Weil [mm] $(\*)$ [/mm] unabhängig davon gilt, ob [mm] $f\,$ [/mm] injektiv ist oder
nicht, haben wir nur noch die Teilmengenbeziehung zu zeigen, wenn man
in [mm] $(\*)$ [/mm] nun [mm] $\subseteq$ [/mm] durch [mm] $\supseteq$ [/mm] ersetzt! Und das bist Du nun
angegangen:
> Sei $ [mm] x\in f(A_1\setminus A_2) [/mm] $.
> D.h. $ [mm] \exists y\in A_1\setminus A_2: [/mm] x=f(y) $.
Der gleiche Hinweis wie eben: benutze besser nicht [mm] $x\,$ [/mm] für ein Element,
welches (insbesondere auch) in der Zielmenge liegt. Man ist irgendwie
"gewöhnt", [mm] $f(x)=y\,$ [/mm] zu schreiben, und nicht [mm] $f(y)=x\,.$ [/mm] Sinnvoller wäre
es hier vielleicht sogar, [mm] $f(a)=b\,$ [/mm] zu schreiben. Aber das nur didaktisch,
und nur einfach deswegen, weil wir halt "gewisse Assoziationen" und auch
"Erfahrungen" haben.
> Das heißt dieses y ist in $ [mm] A_1 [/mm] $ und nicht in $ [mm] A_2. [/mm] $
>
> Und jetzt?
> >
> > Jetzt nimm mal an, es wäre x [mm]\in f(A_2)[/mm]
> >
> > FRED
>
> Dann existierte ein [mm]y'\in A_2: f(y')=x[/mm].
>
> Wegen der Injektivität von f folgt dann [mm]y'=y[/mm].
>
> Also ein Widerspruch, denn [mm]y\in A_1\wedge y\notin A_2[/mm]
denn das galt wegen: s.o., erste Zeile hier:
> Das heißt dieses y ist in $ [mm] A_1 [/mm] $ und nicht in $ [mm] A_2. [/mm] $
und wegen $y' [mm] \in A_2$ [/mm] würde aber aus $y=y'$ doch $y [mm] \in A_2$ [/mm] folgen - was ein Widerspruch wäre.
Also: Das ist richtig, was Du schreibst, es ist auch eigentlich nicht zu schnell
gefolgert, aber ich habe es trotzdem mal ergänzt, so dass an keiner Stelle
eine "Lücke" zu überbrücken wäre!
> und somit
muss die Annahme $x [mm] \in f(A_2)$ [/mm] verworfen werden und es folgt
>
> [mm]x\in f(A_1)\setminus f(A_2)[/mm]
>
>
>
>
> Korrekt?
Ja!
Man kann es aber auch ein wenig anders machen:
Sei $y [mm] \in f(A_2 \setminus A_1)\,.$ [/mm] ( Ja, ich nehme die von mir gewohnten Bezeichnungen
- was Dich evtl. in Verwirrung zu den von Dir verwendeten setzt.  )
Dann gibt es ein $x [mm] \in A_2 \setminus A_1\,,$ [/mm] also $x [mm] \in A_2$ [/mm] und $x [mm] \notin A_1$ [/mm] mit [mm] $f(x)=y\,.$ [/mm] Wegen der Injektivität ist das $x [mm] \in [/mm] A$
allerdings eindeutig bestimmt - es ist also das einzige $x [mm] \in [/mm] A$ mit
[mm] $f(x)=y\,.$ [/mm] /Und dieses einzige $x [mm] \in [/mm] A$ mit $f(x)=y$ erfüllt $x [mm] \in A_2$ [/mm]
und $x [mm] \notin A_1\,.$ [/mm] )
Damit ist wegen $x [mm] \notin A_1\,,$ [/mm] und weil [mm] $f(\tilde{x}) \not=y$ [/mm] für alle
[mm] $\tilde{x} \in [/mm] A [mm] \setminus \{x\}$ [/mm] gilt, sodann $y [mm] \notin f(A_1)\,,$ [/mm] also $y [mm] \in f(A_2) \setminus f(A_1)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 So 14.10.2012 | | Autor: | mikexx |
> Man kann es aber auch ein wenig anders machen:
> Sei [mm]y \in f(A_2 \setminus A_1)\,.[/mm] ( Ja, ich nehme die von
> mir gewohnten Bezeichnungen
> - was Dich evtl. in Verwirrung zu den von Dir verwendeten
> setzt. )
> Dann gibt es ein [mm]x \in A_2 \setminus A_1\,,[/mm] also [mm]x \in A_2[/mm]
> und [mm]x \notin A_1[/mm] mit [mm]f(x)=y\,.[/mm] Wegen der Injektivität ist
> das [mm]x \in A[/mm]
> allerdings eindeutig bestimmt - es ist also
> das einzige [mm]x \in A[/mm] mit
> [mm]f(x)=y\,.[/mm] /Und dieses einzige [mm]x \in A[/mm] mit [mm]f(x)=y[/mm] erfüllt
> [mm]x \in A_2[/mm]
> und [mm]x \notin A_1\,.[/mm] )
> Damit ist wegen [mm]x \notin A_1\,,[/mm] und weil [mm]f(\tilde{x}) \not=y[/mm]
> für alle
> [mm]\tilde{x} \in A \setminus \{x\}[/mm] gilt, sodann [mm]y \notin f(A_1)\,,[/mm]
> also [mm]y \in f(A_2) \setminus f(A_1)\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Vllt. irre ich ja, aber ist das nicht genau das, was ich gleich im ersten Beitrag schon geschrieben hatte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 14.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > Man kann es aber auch ein wenig anders machen:
> > Sei [mm]y \in f(A_2 \setminus A_1)\,.[/mm] ( Ja, ich nehme die
> von
> > mir gewohnten Bezeichnungen
> > - was Dich evtl. in Verwirrung zu den von Dir verwendeten
> > setzt. )
> > Dann gibt es ein [mm]x \in A_2 \setminus A_1\,,[/mm] also [mm]x \in A_2[/mm]
> > und [mm]x \notin A_1[/mm] mit [mm]f(x)=y\,.[/mm] Wegen der Injektivität ist
> > das [mm]x \in A[/mm]
> > allerdings eindeutig bestimmt - es ist
> also
> > das einzige [mm]x \in A[/mm] mit
> > [mm]f(x)=y\,.[/mm] /Und dieses einzige [mm]x \in A[/mm] mit [mm]f(x)=y[/mm]
> erfüllt
> > [mm]x \in A_2[/mm]
> > und [mm]x \notin A_1\,.[/mm] )
> > Damit ist wegen [mm]x \notin A_1\,,[/mm] und weil [mm]f(\tilde{x}) \not=y[/mm]
> > für alle
> > [mm]\tilde{x} \in A \setminus \{x\}[/mm] gilt, sodann [mm]y \notin f(A_1)\,,[/mm]
> > also [mm]y \in f(A_2) \setminus f(A_1)\,.[/mm]
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Vllt. irre ich ja, aber ist das nicht genau das, was ich
> gleich im ersten Beitrag schon geschrieben hatte?
eigentlich schon - aber ich lese einen Fragebaum auch nicht bis zur Wurzel
durch. Hättest Du mehr zitiert, hätte ich das vll. auch gesehen.
Ich sehe da auch keinen Fehler in dieser Argumentation, wenngleich Freds
Hinweis zur weiteren Vorgehensweise ab Deiner Frage vll. das ganze ein
wenig deutlicher zum Vorschein bringt.
Den Satz:
> Wegen der Injektivität gibts sogar genau ein solches Element y in $ [mm] A_1 [/mm] $
> und es kann kein $ [mm] y'\in A_2 [/mm] $ geben mit $ f(y')=x $.
würde ich minimal umformulieren (mit DEINEN Bezeichungen):
Wegen der Injektivität gibt's sogar genau ein solches Element y in $ [mm] A\,,$
[/mm]
und dieses liegt INSBESONDERE in [mm] $A_1\,$ [/mm] und nicht in [mm] $A_2\,.$ [/mm]
Weil dann für alle $y'' [mm] \in [/mm] A$ mit $y'' [mm] \not=y$ [/mm] also $f(y'') [mm] \not=x$ [/mm] gilt, kann
es INSBESONDERE kein [mm] $y'\in A_2 [/mm] $ geben mit $ [mm] f(y')=x\,.$
[/mm]
Aber prinzipiell: Eigentlich kann man guten Gewissens Deine
Ausgangsfrage
> Stimmt das so?
mit "Ja!" beantworten!!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 So 14.10.2012 | | Autor: | mikexx |
Dankeschön, die Hinweise zu der Notation nehme ich gerne an.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 So 14.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo mikexx,
> Sei [mm]f\colon A\to B[/mm] mit [mm]A_1,A_2\subseteq A[/mm].
>
> Zeige
>
> [mm]f(A_1)\setminus f(A_2)\subseteq f(A_1\setminus A_2)[/mm].
>
>
> Zeige außerdem, dass Gleichheit gilt, wenn f injektiv
> ist.
>
>
> Ja, also erstmal moin!
>
> Die erste Implikation ist ja nicht so schwer eigentlich:
>
> Sei [mm]x\in f(A_1)\setminus f(A_2)[/mm].
nur rein didaktisch: Es ist besser, dass $x [mm] \in f(A_1)\,$ [/mm] einfach [mm] $y\,$
[/mm]
zu nennen etc. pp.. Falsch ist das ganze bei Dir nicht, es widerspricht
aber ein wenig der Gewohnheit: So, wie wenn man eine konvergente
Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $(a_\epsilon)_{\epsilon \in \IN}$ [/mm] schreiben würde und dann [mm] $a:=\lim_{\epsilon \to \infty} a_\epsilon$ [/mm] schriebe.
(Wobei ich Deine Notation noch nicht so schlimm finde wie das, was ich
beispielhaft angedeutet habe. Suche mal nach Halmos, How to write mathematics!)
> [mm]\Rightarrow\exists y\in A_1: f(y)=x\wedge\nexists y'\in A_2: f(y')=x[/mm]
Letztstehendes kannst Du auch schreiben als [mm] $\forall y'\, \in A_2: [/mm] f(y') [mm] \not=x\,.$ [/mm]
> [mm]\Rightarrow y\notin A_2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x\in f(A_1\setminus A_2)[/mm]
Gruß,
Marcel
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